Проверка гипотез для МЛР

Проверка качества подборки МНК.

Проверка адекватности уравнений линейной множественной регрессии

Качество множественной регрессии проверяют на основе следующих критериев:

1) Остаточная дисперсия: чем меньше остаточная дисперсия, тем лучше качество подгонки.

(2.1.), где

y_i – фактические значения зависимой переменной

– расчетные значения

n – количество наблюдений

p – количество факторов

2) Коэффициент детерминации

Введение в уравнение дополнительных факторов увеличивает коэффициент детерминации. Поэтому для многофакторной регрессии рассчитывают скорректированных коэффициент детерминации:

(2.2), где

n – количество наблюдений

p – количество факторов

3) Коэффициент эластичности

Есть возможность ранжирования факторов по силе влияния на y.

Количественно сравнить эту силу влияния можно, используя коэффициент эластичности

(2.3)

Например, для фактора x₄:

Коэффициенты эластичности показывают, на сколько процентов от среднего значения изменится зависимая переменная y при увеличении переменной x_i на 1%.

Метод наименьших квадратов — один из методов регрессионного анализа для оценки неизвестных величин по результатам измерений, содержащих случайные ошибки.

Метод наименьших квадратов применяется также для приближённого представления заданной функции другими (более простыми) функциями и часто оказывается полезным при обработке наблюдений.

Когда искомая величина может быть измерена непосредственно, как, например, длина отрезка или угол, то, для увеличения точности, измерение производится много раз, и за окончательный результат берут арифметическое среднее из всех отдельных измерений. Это правило арифметической середины основывается на соображениях теории вероятностей; легко показать, что сумма квадратов уклонений отдельных измерений от арифметической середины будет меньше, чем сумма квадратов уклонений отдельных измерений от какой бы то ни было другой величины. Само правило арифметической середины представляет, следовательно, простейший случай метода наименьших квадратов.

Сначала выдвигают гипотезу множественного уравнения в целом. Для этого рассчитывают F-статистику:

(2.4)

Находится F_табл по таблице Фишера-Снедоллера со степенями свободы V₁=p и V₂‪=n-p-1.

Если F_расч>F_табл, то гипотезу отвергают с той вероятностью, для которой нашли значение F_табл.

Особое значение для многофакторного уравнения имеет t-статистика. На её основе отбирают существенные факторы.

Для коэффициента регрессии рассчитывается его стандартная ошибка:

Далее для каждого фактора рассчитывается своя t-статистика

(2.5)

Существенность влияния j-го фактора (x) на результаты (y) проверяются на основе гипотезы о том, что b_j = 0.

По таблице Стьюдента определяется t_табл со степенями свободы n-p-1. Если |t_j^расч| > t_табл, то j-й фактор является существенным и гипотезу о том, что b_j=0 отвергаем на заданном уровне доверия.

2.2.3. Допущение выполнения МНК или получение «хороших» оценок

Метод МНК дает хорошие оценки, когда:

1.

2.

3. Отсутствует автокорреляция остатков

4. Нормальность остатков

5. Независимость факторов между собой