Множество. Операции над множествами

Лекция 1

КОНСПЕКТЫ ЛЕКЦИЙ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

№ 1

Содержание
1.	Множество. Операции над множествами……………………………...
2.	Определение функции…………….
3.	Различные формы задания функции………………………………….
4.	Четные, нечетные, периодические функции…………………………….
5.	График функции. Асимптоты…….

Множество. Операции над множествами. Определение функции. Различные формы задания функции: явная, неявная, табличная, параметрическая. Четные, нечетные, периодические функции. График функции. Асимптоты.

Понятие множества в математике является первичным и, поэтому, не может быть определено через другие, более элементарные понятия. Множества в математике могут состоять из чисел, векторов, матриц, функций и других объектов.

Множества обозначаются прописными буквами .

Объекты, из которых образовано множество, называются элементами множества или точками и обозначаются строчными буквами ; .

Если объект принадлежит множеству , это записывается таким образом: ; если объект не принадлежит множеству , это записывается таким образом: .

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым множеством и обозначается .

Множество называется подмножеством множества , если каждый элемент множества является одновременно элементом множества и обозначается .

Множества и называются равными, если каждый из них является подмножеством другого и обозначается .

В математике удобно использовать теоретико-множественные и логические кванторы:

– квантор всеобщности, читается «для любого», «для всех», «для каждого»;

– квантор существования, читается «существует», «найдется», «имеется»;

– квантор следствия, читается «следует», «вытекает», «если …, то …»;

– квантор эквивалентности, читается «эквивалентно», «равносильно», «… тогда и только тогда, когда …».

Определение подмножества можно записать следующим образом:

а равенства множеств и теперь можно записать так:

Множества можно задать различными способами:

если , то будем говорить, что множество задано перечислением элементов;

если , то будем говорить, что множество задано характеристическим предикатом или множество задано с помощью некоторого свойства .

Примеры некоторых стандартных числовых множеств:

– множество натуральных чисел;

– множество целых чисел;

– множество рациональных чисел (множество десятичных бесконечных периодических дробей);

– множество иррациональных чисел (множество десятичных бесконечных непериодических дробей);

– множество вещественных чисел;

– множество комплексных чисел.

Стандартные числовые промежутки:

– отрезок;

– интервал;

– полуинтервал;

– замкнутая полуось;

– открытая полуось;

– замкнутая полуось;

– открытая полуось;

– числовая ось.

Пусть даны множество (Рис 1.) и множество (Рис 2.).

Рис. 1 Рис. 2

Объединением множеств и называется множество, если оно содержит только все элементы множества и все элементы множества . Объединение множеств и обозначается (Рис 3.).

Пересечением множеств и называется множество, если оно содержит только все элементы, принадлежащие множествам и одновременно. Пересечение множеств и обозначается (Рис 4.).

Рис. 3 Рис. 4

Разностью множеств и называется множество, если оно содержит только все элементы принадлежащие множеству , не принадлежащие множеству . Разность множеств и обозначается (рис. 5). На рис. 6 изображена разность .