Лекция 5. Примеры метрических пространств входов

Лекция 4.

Примеры метрических пространств входов.

1.

2.

3.

Пример №1

Нужно ввести

Решение:

1):

2)

3)

– движение из точки А в точку В.

Пример №2

Решение:

1)

2):

3)

- линейное пространство на отрезке, расстояние вводится как max.

Пример №3

;

Доказательство:

1) Пространство: -линейное пространство.

Пусть и какие то числа:

а)

б)

– линейное пространство.

1)

2)

– положительное число

(1)

Предположим, что

Подставим в (1)

Такое неравенство называется неравенством Гелдера

Воспользуемся им для решения задачи про треугольники

Распишем каждое из слагаемых

Получим

Сокращаем и получаем

Такое неравенство называется неравенством Миновского

Заменяем

1.

2.

Множество Х	Метрика	Обозначение

Формализация множества допустимых входных воздействий.

Обычно из множества входных воздействий выделяют 2 подмножества:

1. подмножество, образуемое измеряемым процессом, элементы которого несут информацию о свойствах объекта

2.подмножество, состоящие из элементов, которые обычно относятся либо к классу помех либо к классу ошибок измерений.

ИИС

Ошибки измерений

Внешние Помехи

Z измерит. xєX xєΔcX

На свойства элементов множества входных воздействий существенное ограничение накладывается самой ИИС, и внешние ограничения, связанные с запасом энергии, которая расходует ИИС в процессе функционирования. Необходимость выделения подмножества входных воздействий в первую очередь диктуется требованием сохранения работоспособности самой ИИС.

В этой связи возникает необходимость ставить в соответствие каждому элементу метрического пространства его величину. Эта величина называется нормой элемента. Обозначается - ||x|| норма элемента Норма элемента –это его расстояние до 0.

Пример 1

Пример 2

1.Пусть тогда

+μ

-μ

2.Пусть тогда

3.Пусть

  - непрерывная функция на [0;1]       - непрерывная функция на [0;1]  

норма:

3) В пространстве норма:

В этих нормированных пространствах норма должна удовлетворять условиям:

1)

, тогда и только тогда, когда

2)

3)

Ошибка измерения

ИИС

Если значения мы можем указать однозначно, то это детерминированный процессю

Если для наперёд заданного элемента мы не можем однозначно указать значение этого процесса, то это случайный процесс.

Детерминированный процесс Случайный процесс

Если эти амплитуды являются случайными величинами, то тогда говорят, что задан случайный процесс.

Опеределение:

Случайной величиной называется такая величина, которая принимает различные значения при многократном повторении одной и той же группы условий.

Задача:

– ошибка (ошибка измерений является детерменированной)

Задача:

Ошибка измерений является случайной.

ИИС

– корреляционная функция случайного процесса

Смысл состоит в том, что она указывает на тенденцию изменения значения случайного процесса в любой наперёд заданный момент времени.

Задача:

ИИС

Возможность введения операции скалярного произведения любых двух элементов приводит к образованию новых типов пространств. Если пространство конечномерное, то такие пространства называются Эвклидовы. Если бесконечномерные, то называются пространствами Гильберта.

1) Для любых двух элементов

2)

3)

4) тогда и только тогда, когда

1)

-тогда и только тогда, когда

2)

3)

Пример:

Замечание: Введение нормы в виде скалярного произведения на линейное пространство позволяет вычислять величины элементов и углы между элементами.

Если угол равен, то это ортоганальные элементы

Система из элементов является линейно-независимой системой.

Доказательство: