Лекция 12. Ограниченный линейный оператор

Лекция 9

Ограниченный линейный оператор

Оператор называется ограниченным если найдется такая константа М, что выполняется.

Пример №1

Для того, чтобы линейный оператор А был непрерывным необходимо и достаточно, чтобы он был ограничен.

Доказательство(необходимость): (достаточность доказать самим)

Предположим, что оператор А является непрерывным, но не является ограниченным

>n

– входные элементы

Непрерывность => ∃

Нормой оператора A называется наименьшее постоянное число M удовлетворяющие.

Опр. Точная грань – наименьшее из всех наибольших. =sup

Смысловое понятие нормы – это число указывает насколько велики могут быть значения выходов(Y) по сравнению с входными значениями(X). Непрерывные операторы являются ограниченными.

Задача. Пусть на вход информационной измерительной системы поступает x(t), взятое из пространства X. Требуется определить влияние малого возмущения входных воздействий на вход измерительной системы. (x(t)+∆ x(t) -мало)

Решение

μ

F

C

a

акселерометр–измеряет ускорение.

m инерционная сила

μ -сила дельфирования

вектор состояния. Знание этого вектора позволяет определить свойства системы в любой момент времени.

-матрица, характеризующая динамические свойства системы.

-матрица, коэффициент усиления.

-вектор входных воздействий.

Теорема об обратном операторе.

Пусть А – линейный неограниченный оператор, отображающий элементы множества входов на элементы множества выходов, тогда обратный оператор будет ограниченным оператором.

Доказательство:

, следовательно – неограниченный оператор.

Если, то.

Вывод:

1) Все значения удовлетворяющие линейному алгебраическому уравнению имеющему нетривиальное решение, называется собственными значениями.

- не существует, если - собственное значение

- существует, если - регулярное значение

Часный вид линейных операторов.

Сопряжённые и самосопряжённые линейные операторы.

называется сопряжённой с если она совпадает с

Свойство:

Пример: Доказать что для оператора поворота на угол выполняется:

Линейный оператор называется самосопряжённым, если для любых элементов и выполняется::

Пример:

А

х

у

– оператор коэффициентов усиления.

Доказать: – самосопряжённый оператор.

Доказательство:

Определение1: Если в скалярном произведении оператор А самосопряжён, то тогда такое скалярное произведение задаёт то, что называется билинейной формой.

Если, то эта билинейная форма будет называтся квадратичной формой или квадратичным функционалом. Квадратичные функционалы задают либо кривые, либо поверхности второго порядка, а они имеют ярковыраженные экстремумы.

Пример: Найти спектр линейного оператора, который задаёт билинейную формулу:

--------------------------------------------------------------------------

------------------------------------------------------------------------

Сопоставляя уравнения получим:

Наложение спектра:

Спектр:

; B – подобно A.

Нахождение собственных векторов А.

1)

2)

3)

-эллипсоид