Лекция 8. Необходимое условие на введение на линейных пространствах нормы, определяемой скалярное произведение

Лекция 7

Необходимое условие на введение на линейных пространствах нормы, определяемой скалярное произведение.

Для того чтобы на линейном пространстве входов можно было задать норму необходимо, чтобы для любых X є X

Доказательство

Пример 1

Можно ли в пространстве ввести скалярное произведение

= max =

3≠4 следовательно в ввести скалярное произведение невозможно.

Пример 2

тогда

Можно ли ввести скалярное произведение

Следовательно можно ввести скалярное произведение.

1.Введение операции сложения любых двух элементов є X (є Y) привело к тому, что это множество X(Y) стало новой структурой, которое называется линейным пространством.

– угол между элементами. Если, то вектора ортогональны.

2.Для двух любых элементов ввели функцию расстояния (метрика), которое должно удовлетворять некоторым известным условиям. Введение расстояния позволит сравнивать элементы.

3.Если множество X-конечномерно, то вводиться понятие линейнозависимости произведения. Эвклидово пространство Х – конечномерно. Гильбертово пространство Х – бесконечномерно.

Отображение множества входов на множестве выходов.

До этого мы изучали множество входных и выходных процессов, за кадром оставалась формализация причинно-следственных механизмов, отображение множества входов на множестве выходов. Эти причинно-следственные механизмы формулируют принцип реакции элементов формационной системы. Он не может возникнуть раньше, чем элемент будет подан на вход системы. В зависимости от связи и от структуры множества входов и выходов формализуются либо в задачи функции, либо функционалами либо операторами.

А – матрица поворота.

Пример №1

f

x

y

– оператор дифференцирования.

Пример №2

f

x

y

– оператор интегрирования.

Пример №3

Построить оператор отображающий элементы входа в элементы выхода

Оператор А отображающий элементы входа в элементы выхода называется линейным, если для выполняется 2 соотношения:

1) –принцип суперпозиции.

2)

Для

Решение: выбрали

Задача будет решена, если представим вектор в пространстве

– базис

Свойства линейных операторов. Сходимость последовательностей входных воздействий, непрерывные и ограниченные линейные операторы.

Для изучения свойств линейных операторов нам потребуется вспомнить понятие сходимости вообще.

В математическом анализе принято использовать три типа сходимости:

1) Равномерная сходимость

2) Среднеквадратичная сходимость

3) Сходимость в среднем

Указанные типы сходимости определяются типом задания функции расстояния между любыми двумя переменными линейного пространства.

Равномерная сходимость.

Последовательность элементов сходится равномерно, если предел расстояния между элементами и задаётся: то говорят что - предел от этой последовательности.

Средне квадратичная сходимость.

Последовательность элементов сходится в средне квадратичном, если предел расстояния между элементами и задаётся: то говорят что - предел от этой последовательности.

Сходимость в среднем.

Последовательность элементов сходится в среднем, если предел расстояния между элементами и задаётся: то говорят что - предел от этой последовательности.

Утверждение1: Если последовательность входных воздействий сходится равномерно, то тогда она сходится и в среднеквадратичном.

Доказательство: Пусть сходится равномерно, это значит, что

Утверждение2: Если последовательность входных воздействий сходитьсяв среднеквадратичном, то она сходится и в среднем.

Доказательство:

///

Неравенство Коши-Буняковского.

///

(по неравенству Коши-Буняковского)

Равномерная сходимость

Сходимость в среднеквадратичном

Сходимость в среднем

Непрерывные линейные операторы.

Оператор А осуществяющий отображение на называется непрерывным, если для, такого что | будет выполнятся следующее соотношение:

Пример:

X(t)

Y(t)

- оператор дифференцирования.

Требуется показать, что оператор является линейным, но не является непрерывным.

Решение:

1) Линейность

2) Непрерывность

;

Оператор не обладает свойствами непрерывности.

Определение: Оператор А, заданный в нормированном пространстве, называется ограниченным, если существует такая константа М, что выполняется условие:

- норма в соответствующем пространстве.

Замечание1: если такой константы не существует, то тогда оператор А называется неограниченным.

Замечание2: С прикладной точки зрения ограниченность линейных операторов гарантирует отображение входных воздействий, ограниченных каким либо способом дает переменные выходного нормированного пространства, ограниченных тоже.