Эквивалентная ячейка

Рис. 4.

Метод эффективной гомогенизации

Эффективная гомогенизация ячеек

Рассмотрим макроскопическое сечение S. В гетерогенной ячейке оно имеет энергетическую и пространственную зависимость:. Пусть поток нейтронов в ячейке описывается интегральной по углам функцией.

Ячейку будем считать эффективно гомогенизированной, если ей можно сопоставить такое усредненное по ячейке сечение, для которого выполняется равенство

.

Левая часть этого равенства представляет скорость столкновений нейтронов в ячейке, а правая – ее выражение через усредненное сечение и средний поток в ячейке. Отметим, что V_яч – объем ячейки, потому - интегральный по ячейке поток нейтронов.

Очевидно, что равенство (2.1) превращается в тождество, если в качестве усредненного сечения принять

.

Сборки и активные зоны энергетических реакторов содержат большое число твэлов и их можно рассматривать как протяженные решетки. Естественно желание применить расчетные методы реакторов, основанных на гомогенных размножающих средах, к гетерогенным периодическим средам. Для этого используется так называемый метод «эффективной гомогенизации». Основная идея метода заключается в переходе от гетерогенных сред к гомогенным средам с эффективными константами, позволяющими правильно описывать процессы размножения, замедления и диффузии нейтронов в гетерогенных реакторах на основе соотношений, полученных для гомогенных реакторов.

Для бесконечной протяженной решетки пространственное распределение нейтронов будет иметь периодическую структуру. Элементом периодичности выступает пространственное распределение нейтронов в одной ячейке. Если характерный размер ячейки существенно превышает среднюю длину свободного пробега нейтронов, то для таких нейтронов пространственное распределение будет резко неоднородным.

В конечной среде, составленной из периодической решетки твэлов, пространственное распределение нейтронов представляется в виде произведения двух составляющих, одна из которых описывает глобальное распределение нейтронов в гомогенной среде, а вторая - периодическую составляющую, отвечающую бесконечно протяженной решетке.

В результате этого функция пространственного распределения нейтронов будет иметь осцилляции (тонкая структура), обусловленные пространственной неоднородностью самих ячеек (Рис. 4). Для быстрых и тепловых нейтронов осцилляции могут иметь значительные амплитуды.

Влияние пространственных осцилляций на нейтронно-ядерные процессы в гетерогенных зонах удобно анализировать, рассматривая бесконечно протяженные регулярные решетки, отвлекаясь тем самым, от общей (гладкой) составляющей пространственного распределения, обусловленной, например, утечкой нейтронов из активной зоны.

Распределение нейтронов в бесконечно-протяженной регулярной решетке удобно рассматривать с помощью отдельной ячейки, ставя условие периодичности для потока нейтронов на границе ячеек. Такие ячейки называются замкнутыми. В симметрично замкнутых ячейках условие периодичности заменяется условием зеркального отражения нейтронов на границе ячейки.

На рис. 5 сплошной линией показан путь прямопрострельного нейтрона (нейтрона не испытавшего взаимодействия с ядрами среды) от точки А в ячейке (1) до точки В на границе ячейки (5) в решетке, состоящей из простых двухзонных ячеек. На этом же рисунке ячейка (1) представлена как замкнутая (закрытая); пунктирной линией изображен тот же путь нейтрона АВ при условии его зеркального отражения на границе ячейки.

Рис. 5. Отображение в замкнутой ячейке пути нейтрона, пролетевшего в решетке без взаимодействия от точки A до точки B

В бесконечной решетке все ячейки находятся в одинаковых условиях. Поэтому можно ограничиться рассмотрением только одной ячейки. При этом влияние соседних учитывается усло­вием симметрии или условием зеркального отражения на гра­нице: каждому нейтрону, пересекающему изнутри границу ячейки в любой точке и под любым углом, соответствует ней­трон той же энергии, влетающий в этой же точке в ячейку под тем же углом по отношению к нормали.

Зеркальные граничные условия: F-граница между ячейками; n— нормаль кповерхности; а – направление движения нейтрона из ячейки I в II, б- направление движения нейтрона из ячейки II в I.	Цилиндрическая ячейка (2), эквивалентная квадратной ячейке (1)

В ячейке поток нейтронов есть функция только двух пространственных переменных. Но во многих случаях нет необходимости проводить громоздкие расчеты двухмерных ячеек, поскольку расчет одномерной ячейки не вносит существенных ошибок. Поэтому практически всегда используется еще одно приближение. Реальная ячейка, чаще всего имеющая в плане форму квадрата или шестиугольника, заменяется расчетной моделью — круговой одномерной ячейкой той же площади, которую принято называть эквивалентной ячейкой. Отметим, что переход к такой модели не приводит к заметным погрешно­стям в расчетах простой решетки, где он сводится лишь к за­мене формы границы ячейки. В сложной решетке такая замена упрощает лишь расчет решетки каналов (макроячейки); в то же время точный расчет потоков нейтронов внутри канала (микро­ячейки) остается весьма громоздким.

Очень важен выбор граничных условий для эквивалентной ячейки. Граничные условия существенно зависят от формы ячейки только в том случае, если толщина слоя замедлителя меньше или порядка длины пробега нейтронов соответствующих энергий и задача о распределении потока внутри ячейки ре­шается в приближении более высоком, чем диффузионное.

В дальнейшем для замедлителя будем использовать только диффузионное приближение и будем считать справед­ливым условие зеркального отражения на границе, — ток ней­тронов любой энергии равен нулю на границе эквивалентной ячейки, т. е.

Расчет детального распределения потока нейтронов в ячейке по пространству и энергии Ф(r, Е) представляет собой (осо­бенно для резонансных и тепловых нейтронов) весьма сложную и трудоемкую задачу. Как правило, наиболее интересными ре­зультатами расчета являются скорости взаимодействия в раз­личных компонентах (зонах) ячейки (топливе, оболочке, тепло­носителе, замедлителе), для определения которых нет необхо­димости детально описывать пространственное распределение потока нейтронов, достаточно найти его средние значения в зо­нах ячейки.

Как правило, в реакторах используются твэлы, длина которых много больше не только их поперечного размера, но и шага решетки, поэтому переход к бесконечно длинным ячейкам является достаточно хорошим приближением и позволяет рассматривать поток в ячейке как функцию двух переменных.

Если толщина замедлителя значительно превышает длину свободного пробега нейтронов, то реальную ячейку можно заменить равной ей по площади (эквивалентной) цилиндрической одномерной ячейкой. Переход к эквивалентной ячейке позволяет сформулировать одномерную (по пространству) задачу расчета ячейки (Рис. 6).

Эквивалентная цилиндрическая ячейка

Реальная ячейка

Рис. 6. Переход от реальной к эквивалентной ячейке

Элементарной ячейкой пли просто ячейкой называется элемент периодичности ре­шетки (твэл с прилегающим к нему теплоносителем и замедли­телем либо технологический канал с окружающим его замедли­телем). Предполагается, что все элементарные ячейки в решетке имеют одинаковую геометрическую форму и нейтронные харак­теристики.

Эквивалентной ячейкой называется цилиндризованная ячейка, площадь которой равна площади элементарной ячейки.