Многогрупповое уравнение

Сущность метода многих групп

U

Ui

Ui+DUi

DUi

Реальный спектр

Метод групп

Деление реакторного спектра на составляющие является условным. Кроме того, внутри каждой энергетической области вследствие ее достаточно больших интервалов поведение нейтронов очень различно и зависимости Ф (r, Е) очень сложны, что приводит к практической невозможности нахождения реальных распределений потоков нейтронов (и значит и критических параметров ЯР), т.к. в этом случае переменные r и E не разделяются.

В такой ситуации практически единственным реальным методом анализа физики ЯР является метод групп. Его суть: вся область энергий нейтронов, от энергии нейтронов деления до тепловой, делится на конечное число интервалов или энергетических групп. При этом считается, что внутри каждой группы нейтроны рассеиваются без потерь энергии, т.е. подчиняются уравнению диффузии для моноэнергетических нейтронов, пока не испытают определенного числа столкновений, необходимых для уменьшения их энергии до уровня следующей группы с более низкой энергией. Предполагается, что в этот момент нейтроны скачком переходят в следующую указанную группу (группы). Этот процесс продолжается до тех пор, пока нейтроны не перейдут из группы с наивысшей энергией (энергией деления) в группу с наименьшей (тепловой) энергией.

Многогрупповое уравнение является исходным соотношением для расчета распределения нейтронов в ЯР в рамках метода многих групп. Его получение основано на составление баланса нейтронов, находящихся в точке с координатами r и имеющих энергию Е, т.е. рассматриваются нейтроны в состоянии (r, Е).

Рассмотрим схему размножения нейтронов в 4-хгрупповом приближении (без учета утечки):

Если добавить в эту схему утечку нейтронов, то можно получить следующее балансное уравнение на качественном уровне:

Составим такой баланс сначала на качественном уровне.

Изменение во времени количества нейтронов в состоянии (r, Е)

=

Пространственная утечка нейтронов с энергией Е, т.е. уход из точки с координатой r

–

Замедление нейтронов в точке с координатой r, т.е. изменение энергии Е

+

Приход нейтронов в состояние Е за счет замедления нейтронов с энергией, большей, чем Е, в точке с координатой r

+

Приход нейтронов с состоянием (r, Е) непосредственно из источника нейтронов

Запишем баланс в рамках диффузионного приближения для стационарного случая (левая часть баланса равна нулю):

,

где – вероятность для нейтрона с энергией в результате упругого (el) и неупругого (in) рассеяния замедлиться до энергии Е;,.

Перейдем в шкалу летаргий:

(1)

2 гр

u 1

u 2

u i-1

ui

u m-1

u

m гр

i гр

1 гр

Для (1) используем метод многих групп. Для этого весь энергетический интервал разобьем на конечное число отрезков – m. Первая группа здесь соответствует самым высокоэнергетическим нейтронам спектра деления, а последняя m -ая группа описывает тепловые нейтроны. Заменим уравнение (1) системой групповых уравнений и рассмотрим произвольную i -ую группу, внутри которой летаргия изменяется в диапазоне от
u _i-1 до u _i. Для этой группы запишем уравнение баланса (1). Для этого (1) проинтегрируем в пределах от u _i-1 до u _i:

(2)

Видно, что (2) представляет собой сумму четырех интегралов. Рассмотрим каждый интеграл по отдельности.

1). Так как оператор Лапласа не зависит от летаргии, то:

. Полученное выражение умножим и разделим на. В итоге получим:

Первый множитель согласно теореме о среднем есть среднее значение коэффициента диффузии для нейтронов с летаргией в интервале от u _i-1 до u _i (в группе i) или среднегрупповое значение коэффициента диффузии:

Второй множитель представляет собой интегральный по летаргии (энергии) поток нейтронов в i -ой группе: (3).

Если учесть, что коэффициент диффузии не зависит от координат, то окончательно получим для первого интеграла следующее:

(4)

2) Рассмотрим второй интеграл в выражении (2):. Записанное выражение умножим и разделим на. В итоге получим:

Первый множитель согласно теореме о среднем есть среднее значение макроскопического сечения полного взаимодействия для нейтронов с летаргией в интервале от u _i-1 до u _i (в группе i) или среднегрупповое значение макроскопического сечения полного взаимодействия:

Второй множитель в соответствии с (3) есть интегральный по летаргии (энергии) поток нейтронов в i -ой группе. Тогда для второго интеграла имеем:

Известно, что, тогда

Первое слагаемое в этом выражении показывает количество поглощенных нейтронов группы i, – среднегрупповое значение сечения поглощения. С другой стороны, в результате неупругих и упругих рассеяний нейтрон теряет свою энергию. При этом он может либо перейти в другую группу (с большим значением летаргии или меньшим значением энергии), либо остаться внутри группы i. С этой точки зрения сечение рассеяния можно представить как суперпозицию сечения рассеяния, оставляющего нейтрон внутри группы i –, и сечения замедления нейтрона из группы i в другие группы, начиная от группы i +1 и заканчивая последней группой m вследствие рассеяния –. При этом, в свою очередь, сечение замедления можно представить как суперпозицию сечений замедления, описывающих вероятность перехода нейтрона из группы i в каждую из ниже лежащих групп:. Таким образом, второй интеграл выражения (2) окончательно примет вид:

(5)

3) Рассмотрим третий интеграл в выражении (2):.

В этом выражении заменим порядок интегрирования и учтем, в среде нет нейтронов с энергией большей, чем энергия источника, что соответствует замене в нижнем пределе интегрирования (–∞) на 0:

(6)

Разобьем интервал интегрирования 0÷ u на три составляющих 0÷ u_{i -1}, u_{i -1}÷ u_i, u_i ÷ u.

Первый интервал характеризует рассеяние нейтронов с летаргиями, меньшими, чем летаргия рассматриваемой группы, второй – рассеяние нейтронов самой рассматриваемой группы, третий – рассеяние нейтронов с летаргиями, большими, чем летаргия рассматриваемой группы. При этом согласно (6) все эти нейтроны должны при замедлении попасть в рассматриваемую группу i. Однако из физических соображений ясно, что нейтроны при замедлении не могут приобрести энергию больше той, которую они имели. Тогда замедление нейтронов интервала u_i ÷ u в группу i невозможно, так как эти нейтроны имеют большую летаргию, а значит меньшую энергию. При этом заметим, что есть интегральная вероятность для нейтрона с произвольной летаргией замедлиться в группу i:. Таким образом, выражение (6) примет вид:

Применим к I ₃ метод групп, тогда имеем:

(7)

В первом слагаемом выражения (7) умножим и разделим на. В итоге получим:

Первый множитель согласно теореме о среднем есть средняя вероятность нейтрона k -ой группы замедлиться в i -ую группу:

Второй множитель в соответствии с (3) есть интегральный по летаргии (энергии) поток нейтронов в k -ой группе -.

Во втором слагаемом выражения (7) умножим и разделим на. В итоге получим:

Первый множитель есть средняя вероятность для нейтрона при рассеянии остаться внутри группы i, в принятых обозначениях -. Второй множитель в соответствии с (3) есть интегральный по летаргии (энергии) поток нейтронов в i -ой группе -.

Таким образом, окончательно для третьего интеграла выражения (2) получаем:

(8)

4) Рассмотрим четвертый интеграл в выражении (2):

Этот интеграл характеризует источник нейтронов. В общем случае источник может быть произвольным, но нам интересен случай, когда источником является реакция деления тяжелых ядер, причем деление может инициироваться нейтроном любой энергии. Определим скорость реакции деления, инициируемой нейтроном с летаргией в точке r:.

В каждом акте деления рождается новых нейтронов, причем зависит от энергии нейтрона, вызвавшего деление:. Таким образом, в результате деления ядер нейтронами с летаргией в точке r образуется

Путь АБ свободно летящего нейтрона в решетке и замкнутой ячейке.