Нормальное распределение. Экспоненциальное распределение

Экспоненциальное распределение

Распределение Пуассона

Биномиальное распределение

Законы распределения

Из множества распределений случайных величин, имеющих место в практических ситуациях, остановимся пока на некото­рых, играющих наиболее важную роль в задачах управления ка­чеством: из дискретных рассмотрим биномиальное распределе­ние и распределение Пуассона, из непрерывных - нормальное, экспоненциальное, а также распределения, используемые в ста­тистических расчетах: хи-квадрат, Стьюдента и Фишера.

Пусть проводится эксперимент, в результате которого нас интересует, произошло событие А или не произошло. Случай, в котором событие А произошло, назовем успехом, вероятность этого события Р{А) = р. Если же событие А не произошло, то его вероятность Р() = 1 — р = q.

Предположим теперь, что серия независимых испытаний та­кого типа проводится п раз. Нас интересует вероятность события, состоящего в том, что успех произошел ровно т раз, или вероят­ность того, что дискретная случайная величина X, равная числу успехов, примет значение т. Решение этой задачи имеет вид:

где - число сочетаний из п элементов по т.

Формула (3.27) и задает биномиальный закон распределения дискретной случайной вели­чины X (в ее правой части — разложение бинома (р + q)ⁿ).

Можно доказать, что математическое ожидание случайной величины X, имеющей биномиальное распределение, равно

т_х= пр,

а дисперсия

D_x = npq.

Пусть в условиях биномиального распределения число ис­пытаний п велико, а вероятность успеха р мала. Если при этом пр = λ = const, то можно показать, что (при n→ ∞, р → 0)

Дискретная случайная величина X имеет распределение Пуас­сона с параметром λ, если

где параметр λ = пр > 0. Учитывая, что вероятность р мала, распределение Пуассона часто интерпретируют как закон редких явлений.

Можно показать, что математическое ожидание и дисперсия случайной величины X, имеющей распределение Пуассона, оди­наковы и равны параметру λ:

m_x=D_x=λ

Экспоненциальным (или показа­тельным) называется распределение непрерывной случайной ве­личины, плотность которой

при х > 0 (при х = 0 → f(х) = 0). Функцию показательного распре­деления можно получить из формулы (3.13):

F(x) = 1 – e^-λx

Графики плотности и функции экспоненциального распре­деления показаны на рис. 3.4.

Рисунок 4.1 – Графики плотности и функции экспоненциального распределения.

Математическое ожидание слу­чайной величины X, имеющей экспоненциальное распределе­ние, равно

т_х= 1 /λ,

а дисперсия

D_х = 1 / λ².

Наиболее распространенным на практике является нормаль­ный закон распределения. Нормальным распределением (или законом Гаусса) называется распределение непрерывной случай­ной величины, плотность которой определяется по формуле

где тиσ — параметры распределения.

Функция нормального распределения в соответствии с (3.13)

Для краткой записи нормального распределения с парамет­рами m и σ используют обозначение N( m, σ). Можно доказать, что параметр т равен математическому ожиданию, а параметр σ — стандартному отклонению случайной величины X.

В частном случае параметры т = 0, σ = 1. Нормальное рас­пределение N (0, 1) называется стандартным нормальным рас­пределением. В этом случае плотность распределения

Кривая распределения, построенная по формуле (3.34), на рис. 3.5 имеет колоколообразный вид, вертикальная ось являет­ся осью симметрии, горизонтальная — асимптотой. Максималь­ное значение ординаты равно

При значениях аргумента х = ± 3 значения функции близки к нулю. При общей площади под кривой распределения, равной единице, в этом диапазоне лежит 99,73%. Заметим, что в диапа­зоне х = ± 2 лежит 95,44% площади под кривой распределения, а в диапазоне х = ±1 - 68,26%.

При изменении параметра т график сдвигается вправо или влево так, что прямая х = т — ось симметрии (рис. 3.6). При увеличении параметра σ (рис. 3.7) максимум кривой распреде­ления снижается, при уменьшении σ кривая вытягивается вверх, при этом по условию нормировки площадь под кривой распре­деления остается постоянной (и равной единице).

Вновь рассмотрим стандартное нормальное распределение N(0,1). Функция такого распределения иногда называется фун­кцией Лапласа, она имеет специальное обозначение

Эта функция табулирована. Например, Ф(2,48) = 0,9934. График функции показан на рис. 3.8.

Рисунок 4.2 – График функции стандартного нормального распределения.

Из симметрии графика вытекает соотношение

Ф(-х) = 1 - Ф(х).