double arrow

Кривая второго порядка может быть задана уравнением

Ах2 + 2Вху + Су2 + 2Dx + 2Ey + F = 0.

Существует система координат (не обязательно декартова прямоугольная), в которой данное уравнение может быть представлено в одном из видов, приведенных ниже.

1) - уравнение эллипса.

2) - уравнение “мнимого” эллипса.

3) - уравнение гиперболы.

4) a2x2 – c2y2 = 0 – уравнение двух пересекающихся прямых.

5) y2 = 2px – уравнение параболы.

6) y2 – a2 = 0 – уравнение двух параллельных прямых.

7) y2 + a2 = 0 – уравнение двух “мнимых” параллельных прямых.

8) y2 = 0 – пара совпадающих прямых.

9) (x – a)2 + (y – b)2 = R2 – уравнение окружности.

Окружность.

В окружности (x – a)2 + (y – b)2 = R2 центр имеет координаты (a; b).

Пример. Найти координаты центра и радиус окружности, если ее уравнение задано в виде:

2x2 + 2y2 – 8x + 5y – 4 = 0.

Для нахождения координат центра и радиуса окружности данное уравнение необходимо привести к виду, указанному выше в п.9. Для этого выделим полные квадраты:

x2 + y2 – 4x + 2,5y – 2 = 0

x2 – 4x + 4 –4 + y2 + 2,5y + 25/16 – 25/16 – 2 = 0

(x – 2)2 + (y + 5/4)2 – 25/16 – 6 = 0

(x – 2)2 + (y + 5/4)2 = 121/16

Отсюда находим О(2; -5/4); R = 11/4.

Эллипс.

Определение. Эллипсом называется кривая, заданная уравнением .

Определение. Фокусаминазываются такие две точки, сумма расстояний от которых до любой точки эллипса есть постоянная величина.

у


Сейчас читают про: