Частотные характеристики. Передаточной функцией элемента или системы называется отношение изображения выходной величины к изображению входной величины при нулевых начальных условиях

Переходная характеристика

Передаточные функции

Передаточной функцией элемента или системы называется отношение изображения выходной величины к изображению входной величины при нулевых начальных условиях.

Для определения передаточной функции необходимо от дифференциального уравнения элемента или системы перейти к операторной форме, применив к уравнению преобразование Лапласа при нулевых начальных условиях, а затем найти отношение выходной величины к входной.

Реакцию элемента или системы на входную величину, являющуюся ступенчатой единичной функцией времени 1(t), называется переходной характеристикой элемента или системы. Величина 1(t) равна нулю при t < 0 и равна 1 при t ≥ 0. Переходные характеристики типовых звеньев рассматриваются далее.

Одним из видов динамических характеристик являются частотные характеристики, которые определяются при воздействиях, являющихся периодическими функциями времени. В качестве таких воздействий используются синусоидальные воздействия.

Если на вход элемента или системы подать гармонический сигнал А₀ sin(w₁t +j₁), где А₀ , j₁, w₁= 2p/T₁, и T₁ – его амплитуда, фаза, угловая частота и период соответственно; то на выходе с течением времени установится гармонический сигнал А₁ sin(w₁t + j₁¹) той же угловой частоты, но с измененной амплитудой и фазой. Изменения амплитуды и фазы зависят как от свойств рассматриваемого объекта, так и от угловой частоты гармонического сигнала.

Отношения А = А₁/А₀ = А(w) и разность j = j₁¹ - j₁ = j(w) для каждой частоты называют соответственно амплитудно – частотной (АЧХ) и фазо-частотной (ФЧХ) характеристиками рассматриваемого элемента или системы. АЧХ и ФЧХ показывают, как линейный элемент или система изменяют амплитуду и фазу входного гармонического сигнала при изменении частоты.

Исключив из зависимостей А(w) и j(w) частоту w получим зависимость А = f (j), которую называют амплитудно - фазовой частотной характеристикой (АФЧХ).

Частотные характеристики связаны с передаточными функциями. Подставив в передаточную функцию вместо р мнимую величину jw, получим комплексную функцию частоты W(jw), которую называют частотной передаточной функцией. Она может быть представлена в показательном виде W(jw) = А(w)е^jj(w) , где А(w) = |W(jw)| и j(w) = argW(jw).

Функция W(jw) может быть представлена и в алгебраическом виде W(jw) = U(w) + jV(w), где U(w) = Re W(jw), а V(w) = Jm W(jw) называют соответственно вещественной (действительной) и мнимой частотными характеристиками. Они не имеют физического смысла, но их использую при расчетах.

АФЧХ строят на комплексной плоскости, изменяя частоту от 0 до ¥ и откладывая по оси абсцисс значения U(w) и по оси ординат значения V(w). Ее можно строить и в полярных координатах, откладывая векторы длиной А(w) под углом j(w). Углы откладываются от положительной полуоси абсцисс. Если угол образован при движении против часовой стрелки, то он считается положительным.

Соотношения, связывающие рассмотренные частотные характеристики:

А(w) = , j(w) = arctg(V(w)/U(w)),

U(w) = А(w)cos(j(w)),V(w) = А(w)sin(j(w)).

В инженерной практике широко используются логарифмические частотные характеристики (ЛЧХ): амплитудно- частотная (ЛАЧХ) и фазочастотная (ЛФЧХ).

При построении ЛАЧХ по оси абсцисс откладывают частоту в логарифмическом масштабе (lg w), но около отметок указывают значения частоты.

Отрезок оси абсцисс, соответствующий изменению частоты в 10 раз, называется декадой.

По оси ординат ЛАЧХ откладывают в равномерном масштабе логарифмическую амплитуду в децибелах L = 20 lgA(w).

Нуль логарифмической амплитуды соответствует А = 1.

Нуль оси абсцисс лежит слева в бесконечности, так как lg 0 = - ¥, поэтому ось ординат может пересекать ось абсцисс в любой точке. Эту точку выбирают так, чтобы график охватывал нужный диапазон частот.

У ЛФЧХ такая же ось абсцисс, а по оси ординат в равномерном масштабе откладывают фазу j(w) в градусах (реже в радианах).

Значительные участки ЛАЧХ с большой точностью могут быть заменены прямыми линиями – асимптотами, имеющими отрицательный или положительный наклон, кратный 20дБ/дек. Для построения асимптотических ЛАЧХ нужны лишь весьма простые вычисления.