Линеаризация

Уравнения статики и динамики

При разработке и исследовании автоматических систем управления получают ее математическое описание – описание процессов, происходящих в системе на языке математики. Математическое описание может быть аналитическим (с помощью уравнений), графическим (с помощью графиков, структурных схем и графов) и табличным (с помощью таблиц).

Для получения математического описания системы обычно составляют описание ее отдельных элементов. Совокупность всех уравнений и дает уравнение системы.

Уравнения (а также структурные схемы) САУ называют ее математической моделью. Математическая модель одной и той же системы в зависимости от цели исследования может быть разной.

При подаче на вход элемента или системы сигнала g(t) на выходе получим сигнал y(t). Если сигнал на входе имеет постоянное значение, то выходной сигнал по истечении определенного времени также примет постоянное значение. В этом случае зависимость y = f(g) называется статической характеристикой. Итак, статическая характеристика есть зависимость выходной величины от входной величины в установившемся режиме.

Статическую характеристику можно определить аналитически или экспериментально.

Статическая характеристика может быть представлена в виде: алгебраического уравнения, таблицы или графика.

Зависимость выходной величины от входной в неустановившемся режиме называют динамической характеристикой или уравнением динамики.

К динамическим характеристикам относят также передаточные функции, переходные и частотные характеристики.

Обычно САУ описываются нелинейными уравнениями. Во многих случаях их можно линеаризовать, т.е. заменить исходные нелинейные уравнения линейными, приближенно описывающими процессы в системе. Эта процедура называется линеаризацией.

Для линеаризации используется разложение в ряд Тейлора нелинейных функций входящих в уравнения. Если же нелинейная функция изображена графически, то линеаризация ее означает (рис.3.1) замену исходной кривой АОВ отрезком ее касательной в точке О, соответствующей заданному режиму, и параллельный перенос начала координат в эту точку.