Правило сложения дисперсий для альтернативного признака

Правило сложения дисперсий, рассмотренное применительно к вариации количественных признаков, сохраняется и при изучении вариации альтернативных признаков.

Общая дисперсия альтернативною признака определяется по формуле (5.22):

где р - доля единиц в совокупности, обладающих изучаемым признаком.

Внутри групповая дисперсия альтернативного признака рассчитывается по формуле (5,23):

где - доля единиц в i-той группе, обладающих изучаемым признаком.

Средняя из внутригрупповых дисперсий определяется следующим образом (5,24):

Межгрупповая дисперсия находится по формуле(5,25):

Общая дисперсия - по правилу сложения дисперсий (5,26):

Пример. По данным об удельном весе рабочих в цехах предприятия требуется определить различные виды дисперсий.

Цех	Удельный вес основных рабочих, %,	Численность рабочих, чел.
1 2 3	80 75 90	100 200 150
ВСЕГО	-	450

Доля основных рабочих в целом по предприятию определяется по формуле средней арифметической взвешенной:

Общая дисперсия доли основных рабочих рассчитывается в целом по предприятию:

Для каждого цеха рассчитывается внутригрупповая (внутрицеховая) дисперсия:

По трем цехам завода рассчитываются средняя из внутригрупповых дисперсий

межгрупповая дисперсия

общая дисперсия по правилу сложения дисперсий

Тема 6. ВЫБОРОЧНОЕ НАБЛЮДЕНИЕ

6.1. Понятие о выборочном наблюдении и его значение

6.2. Основные способы формирования выборочной совокупности

6.3. Ошибка выборки

6.4. Определение необходимой численности выборки

6.1. Понятие о выборочном наблюдении и его значение

Статистика различает два вида наблюдения в зависимости от полноты охвата единиц совокупности - сплошное и несплошное. Наиболее распространенной разновидностью несплошного наблюдения является выборочное.

Под выборочным наблюдением понимается такое несплошное наблюдение, при котором обобщающие показатели изучаемой совокупности устанавливаются по некоторой ее части, включающей единицы, отобранные случайным образом. Изучаемая статистическая совокупность, из которой производится отбор части единиц, называется генеральной совокупностью. Отобранная из генеральной совокупности часть единиц, подвергающихся обследованию, называется выборочной совокупностью или выборкой.

Выборочный метод применяется в тех случаях, когда проведение сплошного наблюдения невозможно или экономически нецелесообразно. В частности, проверка качества отдельных видов продукции может быть связана с ее уничтожением (например, оценка крепости ниток на разрыв; дегустация продуктов питания; контроль качества фарфора, электроламп, спичек, различных сплавов и т. п.). Отдельные статистические совокупности настолько велики, что было бы физически невозможно собрать данные в отношении каждой из единиц (например, изучение цен на рынках, изучение бюджетов семей). Выборочное наблюдение используют также для проверки результатов сплошного наблюдения.

Выборочный метод позволяет при минимальной численности обследованных единиц наблюдение произвести в наиболее короткие сроки с минимальными затратами труда и средств. Повышается оперативность информации, уменьшаются ошибки регистрации вследствие лучшего кадрового обеспечения наблюдения, так как к его проведению привлекаются наиболее квалифицированные кадры.

Поскольку изучаемая статистическая совокупность состоит из единиц с варьирующими признаками, то состав выборочной совокупности может в той или иной мере отличаться от состава генеральной совокупности. Возникающее вследствие этого расхождение между характеристиками выборки и генеральной совокупности составляет ошибку выборки. Способы определения ошибки выборки и распространения характеристик выборки на генеральную совокупность и составляют основное содержание статистической методологии выборочного метода.

6.2. Основные способы формирования выборочной совокупности

При выборочном наблюдении, как правило, обследованию подвергается сравнительно небольшая часть совокупности — 5—10%, реже 15-25%. Качество результатов выборочного наблюдения зависит от того, насколько репрезентативна (т. е. представительна) выборка. Для обеспечения репрезентативности выборки необходимо соблюдение принципа случайности отбора единиц. Принцип случайности предполагает, что на включение объекта в выборку не может повлиять какой-либо иной фактор, кроме случая.

Существуют различные способы формирования выборочной совокупности. В практике выборочных наблюдений наибольшее распространение получили собственно-случайная, механическая, типическая, серийная, комбинированная выборки. При этом основным видом является собственно-случайная выборка. Все другие являются ее развитием или видоизменением.

Собственно-случайная выборка заключается в отборе единиц из генеральной совокупности наугад без каких-либо элементов системности. Отбор проводят методом жеребьевки или по таблицам случайных чисел. В первом случае всем элементам генеральной совокупности присваивается порядковый номер и для каждого элемента готовится жребий (пронумерованный шар или фишка). Жребии перемешиваются в специальном ящике, из которого затем отбираются наугад. Во втором случае производится выбор случайных чисел по специальным таблицам, которые и образуют порядковые номера для отбора. В соответствии с объемом генеральной совокупности выбирается любой столбец или строка с числами необходимой значимости.

Собственно-случайный отбор может быть как повторным, так и бесповторным. Для проведения бесповторного отбора в процессе жеребьевки выпавшие жребии обратно в совокупность не возвращаются и в дальнейшем отборе не участвуют. Если используются таблицы случайных чисел, то бесповторность отбора достигается пропуском чисел при их повторении в выбранном столбце или столбцах.

Механическая выборка применяется в случаях, когда генеральная совокупность каким-либо образом упорядочена, т. е. имеется определенная последовательность в расположении единиц (например, табельные номера работников, избирателей, телефонные номера респондентов, номера домов и квартир и т. п.). Для проведения механической выборки устанавливается пропорция отбора, которая определяется соотношением объемов выборочной и генеральной совокупностей. Так, если из совокупности в 5000 единиц предполагается получить 2%-ную выборку, т. е. отобрать 100 единиц, то пропорция отбора составит 1:50 (1/5000:100). Это значит, что отбирается одна из каждых 50 единиц. В соответствии с установленной пропорцией отбора генеральная совокупность механически разбивается на равновеликие группы (в нашем примере по 50 единиц). Из каждой группы в выборку отбирается одна единица. При этом устанавливается начало отсчета, т. е. номер единицы, которая должна быть обследована первой, и шаг отсчета, т. е. расстояние между отбираемыми единицами. За начало отсчета чаще всего принимают единицу, лежащую в середине первого интервала для исключения возможности возникновения систематической ошибки выборки. Шаг отсчета равен ширине интервала, на который разбивается совокупность. Механический отбор можно рассматривать как разновидность собственно-случайной бесповторной выборки.

Типическая выборка используется в тех случаях, когда все единицы генеральной совокупности можно разбить на несколько типических групп (т. е. осуществить типологическую группировку). На пример, при обследованиях населения такими группами могут быть районы, социальные, возрастные или образовательные группы; при обследовании предприятий - отрасли и подотрасли, формы собственности и т. п. Типический отбор предполагает выборку единиц из каждой типической группы собственно-случайным или механическим способом. При этом отбор единиц в типическую выборку может быть организован пропорционально объему типических групп либо пропорционально внутригрупповой вариации признака.

Серийный отбор удобен в тех случаях, когда единицы совокупности объединены в группы или серии. В качестве таких серий могут рассматриваться упаковки с определенным количеством готовой продукции, партии товара, студенческие группы, бригады и другие объединения. Сущность серийной выборки заключается в собственно-случайном или механическом отборе серий, внутри каждой из которых производится сплошное обследование единиц.

Комбинированный отбор представляет собой различные сочетания уже рассмотренных видов выборки. Так, можно комбинировать типическую исерийную выборки, когда серии выбираются в установленном порядке из нескольких типических групп. Возможно также комбинирование серийного исобственно-случайного отбора, при котором отдельные единицы отбираются внутри серии всобственно-случайном порядке.

6.3. Ошибка выборки

В процессе проведения выборочного наблюдения могут возникать ошибки двух видов: регистрации и репрезентативности. Случайных и систематических ошибок регистрации и систематических ошибок репрезентативности можно избежать при правильной организации и проведении наблюдения. Случайных ошибок репрезентативности избежать невозможно, поскольку они возникают в силу того, что выборочная совокупность не полностью воспроизводит генеральную. Однако среднюю величину случайной ошибки можно рассчитать, пользуясь методами теории вероятностей.

Применяя выборочной метод, в статистике используют два вида обобщающих показателей: средняя величина количественного признака; относительная величина альтернативного признака (доля единиц совокупности, обладающих признаком).

В соответствии с двумя видами обобщающих показателей существует два вида формул средней ошибки выборки: для расчета средней ошибки средней величины количественного признака в выборке; для расчета средней ошибки доли. Эти формулы в свою очередь имеют разновидности, зависящие от способа отбора.

Введем следующие обозначения:

N - объем генеральной совокупности (число составляющих ее единиц);

- объем выборки (число обследованных единиц);