Оценки распределения полюсов передаточной функции и их связь с показателями качества

Оценка качества переходной характеристики по расположению нулей и полюсов передаточной функции

Переходная характеристика зависит от распределения нулей и полюсов передаточной функции САР. Известен ряд методов, использующих эту зависимость для оценки качества переходной характеристики. Качество регулирования зависит также от взаимного расположения нулей и полюсов изображения внешнего воздействия.

В простейшем случае передаточная функция САР относительно внешнего воздействия g (t) не имеет нулей:

W_g(p) = 1/D(p)

Тогда переходная характеристика и ее показатели качества полностью определяются распределением полюсов W_g(p), т. е. корнями характеристического уравнения

D(p) = a_osⁿ + a₁p^n-1 +…..+ a_n-1p + a_n = 0.

Будем рассматривать устойчивую систему: все коэффициенты характеристического уравнения положительные и его корни р_1, р₂,...р_n располагаются слева от мнимой оси комплексной плоскости корней.

Точнее область расположения корней характеристического уравнения принято определять параметрами h,x и µ = tgy (рис. 8.5).

Параметр h, называемый степенью устойчивости[1], есть расстоя­ние от мнимой оси до ближайшего корня, т. е. величина его ве­щественной части.

Параметр x есть расстояние от мнимой оси до наиболее уда­ленного корня, т. е. величина его вещественной части.

Параметр µ, называемый колебательностью, есть отношение мни­мой части b ближайшего комплексного корня к вещественной a: µ = b/a = tgy.

Рис. 8.5. Определение области расположения корней пара­метрами h,x и µ = tgy: а) – ближайшие корни комплексные сопряженные и б — бли­жайшийкорень вещественный.

Параметры h,x и µ предпочтительнее использовать не для оценки качества регулирования, а для синтеза САР по заданным значениям этих параметров.

Приближенная связь между параметрами h, x и µ и показате­лями качества переходной характеристики заключается в сле­дующем.

Корни характеристического уравнения, расположенные ближе к мнимой оси, т. е. имеющие наименьшую по абсолютной величине вещественную часть, дают составляющие переходной характери­стики, которые затухают наиболее медленно. Поэтому по степени устойчивости можно приближенно определить время регулирова­ния, т. е. время, по истечении которого y(t) отклоняется от y_y не более чем на 5%:

t_пп » 3/h, если ближайший к мнимой оси корень вещественный, и t_пп £ 3/h, если ближайшей к мнимой оси является пара комплексных сопря­женных корней.

Значение колебательности µ позволяет определить прибли­женное значение перерегулирования переходной характеристики в %:

если ближе к мнимой оси расположена пара комплексных сопря­женных корней.