При изменении выпуска и цены одного фактора

Лекция 10. Изменение спроса фирмы на труд и на капитал

1. Изменение спроса фирмы на труд и на капитал

В исходном положении фирма выпускает некоторый объем продукции в соответствии с производственной функцией , ее издержки минимальны, а прибыль максимальна. Цены ресурсов и продукта заданы рынком и остаются постоянными в коротком периоде. Положение фирмы описывается необходимыми и достаточными условиями максимизации прибыли. Но в силу изменяющейся конъюнктуры рынка спрос на продукцию фирмы увеличивается (сокращается) и она расширяет (сокращает) объем выпуска. Другими словами, объем выпуска становится переменной величиной при прочих равных условиях, т.е. при постоянных ценах ресурсов, цены продукта и других параметрах. Следует отметить, что получить ответ на вопрос, как изменится спрос на труд и капитал при изменении выпуска, не используя математические методы анализа, просто невозможно.

Воспользуемся уравнениями (2.4), описывающими исходное положение фирмы, которая использует два фактора производства, выпускает один продукт и получает максимум прибыли:

.

Продифференцируем эти уравнения по переменной , так как изменяется выпуск. Экономический смысл дифференцирования состоит в следующем. Выпуск получает приращение, изменяется на бесконечно малую величину. Приращение может быть положительным - выпуск увеличивается и отрицательным - выпуск уменьшается. Это вызывает изменение спроса фирмы на труд и капитал. Но спрос, например, на труд зависит не только от изменения объема производства, но и от изменения цены труда (если цена растет, то фирма уменьшает потребление этого ресурса), от изменения цены капитала. Если капитал становится относительно более дешевым фактором, труд замещают капиталом и его потребление сокращается. Спрос на труд зависит также и от изменения других параметров рынка.

Вот почему изменение спроса на труд, вызванное изменением только выпуска продукции, измеряется частной производной , представляет собой частное приращение. Соответственно, изменение спроса на капитал при изменении выпуска и прочих равных условиях измеряется частной производной . Если бы требовалось определить изменение спроса на труд (капитал), вызванное всеми влияющими на него факторами, то пришлось бы найти сумму частных приращений спроса, каждое из которых вызывается изменением одного из выше названных факторов. Например, одно из частных приращений спроса на труд вызывается изменением цены труда, другое - изменением цены капитала и т.д.

Возьмем первое условие и поясним процедуру дифференцирования. Выражение в левой части представляет собой сложную функцию двух аргументов - затрат труда и капитала , которые в свою очередь зависят, как было сказано, от объема выпуска, от цены труда и цены капитала и от других факторов. По условию затраты труда и капитала изменяются по причине изменения выпуска при прочих равных условиях. Последнее означает, что и K рассматриваем как функции только одной изменяющейся переменной - выпуска.

Дифференцируя первое условие, характеризующее исходное положение фирмы, как сложную функцию по переменной - выпуску, получаем: или в равнозначной записи

(3.9)

Дифференцируя второе условие (3.4), необходимо помнить, что предельная производительность труда является сложной функцией от двух аргументов и , которые в свою очередь зависят от выше названных факторов - изменения объема производства, цен ресурсов и других. Предельная производительность денег также является переменной величиной. Для левой части условия записываем дифференциал произведения, в его правой части цена труда остается постоянной и ее приращение равно нулю. Поэтому

. (3.10)

Аналогично дифференцируем третье условие:

. (3.11)

Разделим уравнения (3.10) и (3.11) на . Получили систему уравнений:

(3.12)

Неизвестными величинами являются , определяем их по правилу Г. Крамера. Определитель системы

(3.13)

можно представить в виде: . Такая запись позволяет легко определить знак любого минора по сумме индексов элементов.

Решение системы уравнений:

, (3.14)

где и - алгебраические дополнения (миноры) элементов и первой строки определителя .

Таким образом, если известна производственная функция фирмы, то изменение спроса на факторы производства в заданной точке изокванты (при заданных затратах труда и капитала) определяют по формулам (2.14).

Аналогично определяют изменение спроса фирмы на труд и капитал при изменении, например, цены труда . Для этого продифференцируем уравнения (2.4), характеризующие исходное состояние фирмы, по переменному параметру - цене труда. Остальные параметры - объем выпуска, цена единицы капитала, цена продукта и другие, не изменяются, остаются постоянными. Получим систему уравнений:

(3.15)

Решаем систему из трех уравнений, как и в предыдущем случае, по правилу Г. Крамера. Определитель системы (3.13). Находим - изменения спроса фирмы на труд и капитал, вызванные изменением цены труда:

, (3.16)

где и - алгебраические дополнения элементов и определителя .

Таким образом, выражениями (3.16) определяется изменение спроса фирмы на факторы производства, вызванные изменением цены одного из них - труда. При этом выполняются исходные условия (3.4), которые экономисты называют условиями устойчивости. Полученное аналитическое решение задачи свидетельствует, что по мере увеличения цены труда его потребление уменьшается и отрицательно, а потребление капитала увеличивается и положительно. В процессе производства эти два фактора являются взаимозаменяемыми.

В использованной нами производственной функции выпуск зависит от затрат труда и капитала. Полученное решение не позволяет определить изменение спроса на взаимодополняемые факторы, так как число факторов в функции должно быть более двух.

Существует решение вопроса в общем случае, когда фирма производит любое число видов продукции и использует любое число видов ресурсов. Фирма может осуществлять взаимозамещение и факторов и продуктов. Тогда производственная функция аналитически представляет реально протекающий процесс, в котором многопродуктовая фирма сокращает производство одних и увеличивает производство других продуктов в соответствии с изменяющейся конъюнктурой рынка, а также осуществляет замещение факторов производства. В производственной функции затраты факторов представляют как отрицательный выпуск, в отличие от положительных значений объемов продукции. Другими словами, если товар затрачивается, его величина отрицательна, если товар выпускается - положительна. С решением задачи в общем виде для любого числа выпускаемых продуктов и используемых факторов производства можно познакомиться по работам Аллена Р. и Хикса Д.Р., названным в списке литературы.