2014-02-02
552
Геометрия на плоскости и в пространстве.
Целью данного раздела состоит в рассмотрении таких геометрических понятий как расстояние, площадь, объём с последующим обобщением этих понятий и их переносом на произвольные линейные пространства.
Определение 1.1. Скалярным произведением геометрических векторов a и b называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Скалярное произведение векторов обозначают 
.
Из определения следует, что длина вектора равна 
.
Приведём свойства скалярного произведения.
1. 
. Симметричность
2. 
Линейность
3. 
В доказательстве нуждается только третье равенство. Если c=0, то равенство очевидно. Пусть 
. Проекция вектора b на c равна 
.
Из равенства 
и приведённой выше формулы выводим 
. Приравняем коэффициенты при векторе c в левой и правой частях равенства 
и умножим на квадрат длины вектора c, получим свойство 3.
Задание длин векторов определяет скалярное произведение. Действительно, из свойств скалярного произведения выводим равенство 
, которое перепишем в виде
. Таким образом, задание длин векторов равносильно заданию скалярного произведения и наоборот.
Выразим скалярное произведение через координаты перемножаемых векторов. Пусть 
- базис пространства векторов, и 
, 
- разложения векторов a,b по этому базису. Тогда по свойствам скалярного произведения выводим 
. Обозначим через 
матрицу Грамма от векторов , составленную из скалярных произведений этих векторов, через 
- координаты вектора a в базисе f. В этих обозначениях скалярное произведение можно записать с помощью матричных операций следующим образом 
.
Векторы называются ортогональными (перпендикулярными) если угол между ними равен 
. Условие ортогональности векторов равносильно равенству нулю их скалярного произведения.
Базис 
называется ортогональным, если базисные векторы попарно ортогональны. Матрица Грамма ортогональной системы векторов – диагональная. Выражение скалярного произведения через координаты векторов в ортогональном базисе принимает более простой вид, а именно, 
.
В ортогональном базисе скалярное произведение вектора a на базисный вектор равно 
, то есть, координаты вектора a находятся по формулам 
.
Ортогональный базис 
, в котором длина каждого базисного вектора равна 1, называется ортонормированным. В ортонормированном базисе координаты вектора x определяются по формулам 
, а скалярное произведение векторов равно 
.
