Неприводимый многочлен, его свойства

Многочлен называется неприводимым над числовым полем, если он не делится на многочлены меньшей степени (исключая константы)

Теорема 2.7 Пусть многочлен f (x) неприводим. Тогда

I. Из вытекает, либо , либо .

II. Если неприводимый многочлен делится на неприводимый многочлен, то они отличаются числовым множителем.

Доказательство.

Докажем первое утверждение. Если , то утверждение верно. Пусть не делится на, тогда и найдутся многочлены и , что . Умножим полученное равенство на : . В левой части равенства все слагаемые делятся на , следовательно, .

Второе утверждение следует непосредственно из определения неприводимого многочлена.

Теорема 2.8 Многочлен над числовым полем единственным образом раскладывается в произведение неприводимых многочленов, с точностью до перестановки сомножителей и числовых множителей.

Доказательство проведём индукцией по числу сомножителей. Если многочлен имеет один сомножитель, то он неприводим, и теорема верна. Пусть теорема верна для любого многочлена, разлагающегося на не более n-1 сомножителей. Допустим, найдётся многочлен, имеющий как минимум два разложения на неприводимые множители (). Поскольку произведение делится на , то найдётся номер i, что делится на . Переставим сомножители так, чтобы i=s. Многочлены и отличаются числовым множителем. Следовательно, . По предположению индукции s-1=n-1 и сомножители отличаются только порядком и числовыми коэффициентами. Теорема доказана.