Индексы согласия и несогласия

Основные этапы методов ЕLЕСТRЕ

Методы ЕLЕСТRЕ ранжирования многокритериальных альтернатив

Лекция 2 часа

В конце 60-х годов группа французских ученых во главе с проф. Б. Руа предложила подход к попарному сравнению многокритериальных альтернатив, не основанный на теории полезности. В отличие от МАUТ оценка каждой альтернативы является не абсолютной, а относительной (по сравнению с другой альтернативой). Так возник метод ЕLЕСТRЕ (исключение и выбор, отражающие реальность). В настоящее время разработан ряд методов семейства ЕLЕСТRЕ.

Методы ЕLЕСТRЕ направлены на решение задач с уже заданными многокритериальными альтернативами. Следовательно, они принадлежат к методам первой группы согласно приведенной выше классификации. В отличие от метода АНР в методах ЕLЕСТRЕ не определяется количественно показатель качества каждой из альтернатив, а устанавливается лишь условие превосходства одной альтернативы над другой.

Постановка задачи обычно имеет следующий вид:

Дано: N критериев со шкалами оценок (обычно количественные), веса критериев (обычно целые числа), альтернативы с оценками по критериям.

Требуется: выделить группу лучших альтернатив.

1. На основании заданных оценок двух альтернатив подсчитываются значения двух индексов: согласия и несогласия. Эти индексы определяют согласие и несогласие с гипотезой, что альтернатива А превосходит альтернативу В.

2. Задаются уровни согласия и несогласия, с которыми сравниваются подсчитанные индексы для каждой пары альтернатив. Если индекс согласия выше заданного уровня, а индекс несогласия — ниже, то одна из альтернатив превосходит другую. В противном случае альтернативы несравнимы.

3. Из множества альтернатив удаляются доминируемые. Оставшиеся образуют первое ядро. Альтернативы, входящие в ядро, могут быть либо эквивалентными либо несравнимыми.

4. Вводятся более «слабые» значения уровней согласия и несогласия (меньший по значению уровень согласия и больший уровень несогласия), при которых выделяются ядра с меньшим количеством альтернатив.

5. В последнее ядро входят наилучшие альтернативы. Последовательность ядер определяет упорядоченностьальтернативпо качеству.

Рассмотрим эти этапы подробнее, используя в качестве иллюстрации все тот же пример выбора площадки для постройки аэропорта.

В различных методах семейства ЕLЕСТRЕ индексы согласия и несогласия строятся по-разному. Основные идеи построения этих индексов далее будут показаны на примере метода ЕLЕСТRЕ.

Каждому из N критериев ставится в соответствие целое число р, характеризующее важность критерия. Б. Руа предложил рассматривать р как «число голосов» членов жюри, голосующих за важность данного критерия.

Выдвигается гипотеза о превосходстве альтернативы А над альтернативой В. Множество I, состоящее из N критериев, разбивается на три подмножества:

I⁺ — подмножество критериев, по которым А предпочтительнее В;

I⁼ — подмножество критериев, по которым А равноценно В;

I^- — подмножество критериев, по которым В предпочтительнее А.

Далее формулируется индекс согласия с гипотезой о превосходстве А над В. (В других методах семейства ЕLЕСТRЕ используются индексы сильного и слабого превосходства.)

Индекс согласия подсчитывается на основе весов критериев. Так, в методе ЕLЕСТRЕ этот индекс определяется как отношение суммы весов критериев подмножеств I⁺ и I⁼ к общей сумме весов:

Индекс несогласия d_AB с гипотезой о превосходстве А над В определяется на основе самого «противоречивого» критерия — критерия, по которому В в наибольшей степени превосходит А.

Чтобы учесть возможную разницу длин шкал критериев, разность оценок В и А относят к длине наибольшей шкалы:

где l_Aⁱ, l_Bⁱ — оценки альтернатив А и В по i- му критерию; L i — длина шкалы i-го критерия.

Укажем очевидные свойства индекса согласия:

1) 0 £ с_AB £ 1;

2) с_AB = 1, если подмножество I⁺ пусто;

3) с_AB сохраняет значение при замене одного критерия на несколько с тем же общим весом.

Приведем свойства индекса несогласия:

1) 0 £ d_AB £ 1;

2) d_AB сохраняет значение при введении более детальной шкалы по i-му критерию при той же ее длине.

Введенные индексы используются при построении матриц индексов согласия и несогласия для заданных альтернатив.

Предположим, что в задаче выбора места для строительства аэропорта заданы альтернативы:

А ($180 млн, 70 мин., 10 тыс.); С ($160 млн, 55 мин., 20 тыс);

В ($170 млн, 40 мин., 15 тыс.); D ($150 млн, 50 мин.,25 тыс.).

Пусть веса критериев равны: w₁ = 3; w₂ = 2; w₃ = 1. Сохраним те же длины шкал: L₁ = 100; L₂ = 50; L₃ = 45.

Матрица индексов согласия приведена как табл. 11, а матрица индексов несогласия — как табл. 12.

Таблица 11 Значения индексов согласия для примера   A B C D A * 1/6 1/6 1/6 B 5/6 * 3/6 3/6 C 5/6 3/6 * 1/6 D 5/6 3/6 5/6 *

Таблица 12 Значения индексов несогласия для примера   A B C D A * 0,6 0,3 0,4 B 0,11 * 0,1 0,2 C 0,22 0,3 *   ,1 D 0,33 0,22 0,11 *