Правило сложения

НЕКОТОРЫЕ ФОРМУЛЫ КОМБИНАТОРИКИ.

Вероятность суммы событий.

Правило умножения вероятностей

Независимость случайных событий.

ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Различные события могут быть связаны причинно-следственными связями. Но теория вероятностей изучает вероятностную связь, которая проявляется и тогда, когда отсутствует причинно-следственная связь.

Например, в опыте с бросанием кубика определим события А и B следующим образом: А ={w_1, w₂, w₃ w₆}, B={w₂, w₄,}. Подсчитаем вероятности событий А и B. Соответственно р(А)= 4∕6, р(В)= 2∕6. Если известно, что в результате опыта произошло событие B, то можно определить вероятность того, что одновременно произошло и событие А. Обозначим эту вероятность р(А|В). В общем случае вероятность р(А|В) называется условной вероятностью события А, при условии что произошло событие В. В нашем примере эта вероятность равняется 1/2. Действительно, событие В содержит два возможных исхода опыта - w₂ и w₄. Исход w₂ содержится и в событии А. Если реализовалось событие В, то один из двух возможных исходов будет благоприятствовать событию А. Следовательно, р(А|В) = 1/2. В данном случае мы воспользовались классической формулой вычисления вероятности. Заметим, что здесь рассматривается другой, отличный от первоначального, опыт.

Условную вероятность события А можно вычислить по формуле:

р(А|В)=р(А×В)/р(В), (р(В) ≠ 0).

Аналогично, условную вероятность события В можно вычислить по формуле:

р(В|А)=р(А×В)/р(А), (р(А) ≠ 0).

События А и B называются независимыми, если вероятность одного из них не зависит от того, произошло другое или нет.

Если события независимые, то условная вероятность равна безусловной вероятности этого события:

Р(А|В)=Р(А).

Эту формулу можно использовать для определения независимости событий, при условии р(В) ≠ 0.

Вероятность произведения двух событий А и B равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого.

р(А×В)=р(В)р(А|В) или р(А×В)=р(А)р(В|А)

Правило умножения можно распространить на случай произвольного числа событий:

p(А₁ А₂ … А_n) = p(A₁)p(A₂|A₁)p(A₃|A₁A₂)…p(A_n)|A₁A₂…A_n-1)

Пример использования формулы.

Для независимых событий справедливо равенство:

р(А×В)=р(В)р(А),

или в общем случае:

p(А₁ А₂ … А_n) = ∏ р(А_i).

Эти формулы также могут использоваться для проверки независимости событий, причем они более предпочтительны, поскольку не содержат операции деления.

Для несовместных событий выполняется равенство:

Р(А+В)=Р(А)+Р(В).

Если некоторый объект х можно выбрать n способами, а объект у – m способами, то любой из этих объектов x y может быть выбран (n+ m) способами.

Пусть Х и У – два непересекающихся множества, Х+У – множество, образованное объединением этих множеств. Обозначим число элементов этого множества как |Х+У|, числа элементов множеств Х и У - |Х|, |У| соответственно.

Тогда правило сложения примет вид:

|Х+У|=|Х|+|У|.