Остаточное время жизни

Страховая компания имеет дело с конкретными людьми, дожившими до определенного возраста. Статистические свойства времени жизни таких людей существенно отличаются от свойств времени жизни новорожденных. Если человек в возрасте лет обратился в страховую компанию (в актуарной математике такого человека обозначают ), то заведомо известно, что он дожил до лет, и поэтому все случайные события, связанные с этим человеком, должны рассматриваться при условии, что .

Для человека в возрасте лет обычно рассматривают не продолжительность жизни , а остаточное время жизни . Распределение случайной величины – это условное распределение величины при условии, что :

Соответствующая функция выживания определяется формулой

,

так что плотность случайной величины может быть найдена по формуле:

, .

Интенсивность смертности, связанная с величиной , есть

.

Это соотношение означает, что интенсивность смертности спустя время для человека, которому сейчас лет, равна интенсивности смертности в возрасте для новорожденного. Другими словами, интенсивность смертности в данном возрасте не зависит от уже прожитых лет.

Основные величины, связанные с остаточным временем жизни

Вероятность (т.е. вероятность смерти человека возраста в течение ближайших лет) в актуарной математике обозначается . Тогда

Дополнительная вероятность (т.е. вероятность того, что человек в возрасте лет проживет еще по меньшей мере лет) в актуарной математике обозначается :

Случай играет особую практическую роль и встречается наиболее часто. Для него принято опускать передний индекс у переменных и . Таким образом, символ обозначает вероятность того, что человек в возрасте лет умрет в течение ближайшего года, а символ обозначает вероятность того, что человек в возрасте лет проживет еще по крайней мере один год. Тогда

,

С помощью вероятностей можно вычислить и более общие вероятности :

.

Рассмотрим теперь более общее событие, заключающееся в том, что человек возраста проживет еще лет, но умрет на протяжении последующих лет, т.е. . Его вероятность обозначается :

.

Случай представляет особый интерес для приложений к страхованию жизни. Как обычно соответствующий индекс принято опускать. Таким образом, – это вероятность того, что человек в возрасте лет проживет еще лет, но умрет на протяжении следующего года.

.

Макрохарактеристики остаточного времени жизни

Среднее значение остаточного времени жизни человека в возрасте лет обозначается и называется полной ожидаемой продолжительностью жизни:

.

Второй момент можно найти по формуле:

.

Среднее остаточное время жизни можно выразить и через другие характеристики времени жизни. Для этого рассмотрим группу из новорожденных и обозначим через суммарное число лет, прожитых представителями этой группы в возрасте и более. Таким образом, если время жизни i-того представителя группы, , меньше чем , его вклад в сумму равен нулю. Если же , то вклад в сумму равен .

Тогда

.

Среднее значение величины , где – некоторая положительная константа, называют частичной средней продолжительностью жизни и обозначают .