ANCOVA-модели при наличии у фиктивной переменной двух альтернатив

Необходимость использования фиктивных переменных.

ФИКТИВНЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕ.

ЛЕКЦИЯ 7.

Цель: Познакомиться с различными видами регрессионных моделей, включающих в качестве зависимых переменных фиктивные переменные. Изучить специфику оценки параметров регрессионных моделей для ANOVA-модели и ANCOVA-модели.

Ключевые слова: фиктивные переменные, ANOVA-модель, ANCOVA-модель.

План лекции:

1. Необходимость использования фиктивных переменных.

2. ANCOVA-модели при наличии у фиктивной переменной двух альтернатив.

3. ANCOVA-модели при наличии у качественных переменных более двух альтернатив.

4. Регрессия с одной количественной и двумя качественными переменными.

В регрессионных моделях в качестве объясняющих переменных часто приходится использовать не только количественные, но и качественные переменные. Например, в модели стоимости квартиры расположение дома в центре города или нет, в модели уровня бедности – местность городская или сельская. Чтобы ввести такие переменные в регрессионную модель, им должны быть присвоены те или иные цифровые метки, т.е. качественные переменные должны быть преобразованы в количественные. Такого вида сконструированные переменные в эконометрике принято называть фиктивными переменными. Фиктивные переменные отражают два противоположных состояния качественного фактора, и выражается в двоичной форме:

Например, z=0, если потребитель не имеет высшего образования, z=1, если потребитель имеет высшее образование; z=0, если курс валюты фиксированный, z=1, если курс валюты плавающий.

Регрессионные модели, содержащие лишь качественные объясняющие переменные, называются ANOVA-моделями (моделями дисперсионного анализа).

Например, пусть у – начальная заработная плата.

Тогда зависимость можно выразить моделью парной регрессии

.

Очевидно,

,

.

При этом коэффициент α определяет среднюю начальную заработную плату при отсутствии высшего образования. Коэффициент β указывает, на какую величину отличаются средние начальные заработные платы при наличии и при отсутствии высшего образования у претендента.

Такие ANOVA-модели в экономике крайне редки. Чаще встречаются модели, содержащие как качественные, так и количественные переменные.

Модели, в которых объясняющие переменные носят как количественный, так и качественный характер, называются ANCOVA-моделями (моделями ковариационного анализа).

Рассмотрим простейшую ANCOVA-модель с одной количественной и одной качественной переменной, имеющей два альтернативных состояния.

Предположим, что по группе лиц мужского и женского пола изучается линейная зависимость потребления кофе от цены. В общем виде для совокупности обследуемых потребителей уравнение регрессии имеет вид:

,

где y – количество потребляемого кофе; x – цена.

Аналогичные уравнения могут быть найдены отдельно для лиц мужского пола: и женского пола:.

Различия в потреблении кофе проявятся в различии средних и. Вместе с тем сила влияния x на y может быть одинаковой, т.е.. В этом случае возможно построение общего уравнения регрессии с включением в него фактора «пол» в виде фиктивной переменной. Объединяя уравнения и и, вводя фиктивную переменную, можно прийти к следующему выражению:

где z – фиктивная переменная, принимающая значения:

Значение качественной переменной, для которого принимается z =0, называется базовым или сравнительным.

Коэффициент γ в модели иногда называется дифференциальным коэффициентом свободного члена, так как он показывает, на какую величину отличается свободный член модели при значении фиктивной переменной, равном единице, от свободного члена модели при базовом значении фиктивной переменной, т.е..