Основные теоремы электростатики в интегральной и дифференциальной форме

1) Теорема Гаусса.

(вакуум)

(среда)

По теореме преобразования поверхностного интеграла в объемный (теореме Остроградского) имеем:

откуда следует дифференциальная форма записи теоремы Гаусса:

где ρ – объемная плотность сторонних зарядов;

.

Используя определение , нетрудно показать, что , где - объемная плотность связанных зарядов.

2) Теорема о циркуляции электрического поля.

По теореме преобразования контурного интеграла в поверхностный (теореме Стокса) имеем:

,

откуда следует дифференциальная форма второй основной теоремы электростатики

где .

Граничные условия для электрического поля.

При переходе через границу раздела двух диэлектриков с различными диэлектрическими проницаемостями ε₁ и ε₂ (рис.3.12) необходимо учитывать граничные условия для полейи, которые непосредственно вытекают из основных интегральных теорем электростатики.

Нормальные составляющие индукции поля непрерывны

Учитывая, что , находим также:

Тангенциальные составляющие электрического поля непрерывны

Поскольку , то