Определение. Множество всех х при которых функ

Пример

Определение

Множество всех х при которых функ. ряд (1) сх-ся (т.е. получаются сх-ся числ. ряды) наз-ся областью сходимости функ. ряда.

1/х+1/х²+…+1/хⁿ+…=1/хⁿ (2). Возьмём 1/|х|ⁿ (3), к этому полож. ряду можно применить радик. признак Коши с(х)=lim =1/|x|; при 1/|x|<1Û|x|>1 ряд (3) сх-ся Þ ряд (2) сх-ся (абс.). Пи 1/|x|>1Û|x|<1 ряд (3) расх-ся, причём lim 1/|x|ⁿ=+¥ Þ lim 1/|x|ⁿ¹0Þ ряд (2) расх-ся. При |x|=1: lim 1/|x|ⁿ=1Þ lim 1/xⁿ¹0Þ ряд(2) расх-ся. Т.о. при |x|<1 ряд (2) сх-ся, при всех ост. х – расх-ся. Область сх-ти ]-¥,-1[U]1,+¥[. Сх-ть ряда (1) при конкр. х, означает что числ. посл-ть Sn(x)=u1(x)+…+un(x) имеет конечный предел S. Для различ. х этот предел S разный, т.е. явл-ся функцией от х: S=S(x). Эта функция наз-ся суммой функц. ряда. При конкретных х lim Sn(x)= S(x) означ. что ("e>0)($ n_e):("n> n_e)[|S_n(x)-S(x)|<e] или учитывая равенство S(x)=Sn(x)+r_n(x), где r_n(x) – сумма n-го остатка ряда, ("e>0)($ n_e):("n> n_e)[|S_n(x)-S(x)|= |r_n(x)|<e]. Если e>0 задано, то для обеспечения нужного равенства |r_n(x)|<e] при n> n_e "x требуется свой номер n_e (т.е.n_e зависит не только от e но и от х). Но может оказаться, что $ n_e годный сразу для всех х из ЕÌR.

Если по любому заданному e>0 можно указать n_e, т.ч. при всех n> n_e сразу для всех хÎЕ выполняется неравенство |S_n(x)-S(x)|<e: ("e>0)($ n_e):("n> n_e)("хÎЕ)[|S_n(x)-S(x)|= |r_n(x)|<e].

Геометрически: в случае сх-ти при n> n_e все графики у=Sn(x) целиком попадут в заданную полосу между графиками. В случае наравн. сх-ти какой бы n_e ни взять при n> n_e не удаётся заключить весь график у=Sn(x) в заданную полосу: всегда найдётся точка х¢Î Е т.ч. точка с координатами (х¢, Sn(x)) остаётся вне полосы.

Теор об остатке равном. сх-ся ряда.

Функ. ряд (1) сходящийся на множестве Е (т.е. сх-ся поточно) равном. сх-ся на ЕÛ lim |r_n(x)| =0. 1 Ряд (1) сх-ся равномерно. Зададим e>0, по Опр. ($ n₀):("n> n₀)("хÎЕ)[|r_n(x)|<e]. Это означает, что e₁ является верхней границей мн-ва {|r_n(x)|: xÎE}, а т.к. sup – наим. Из верхних границ, то sup{|r_n(x)|: xÎE}£e₁, т.е. |r_n(x)|£e₁Þ |r_n(x)|=0. Ü lim |r_n(x)|=0. Зададим e>0. По условию ($ n_e):("n> n_e)[|r_n(x)|<eÞ("хÎЕ)[|r_n(x)|<e]]Þ ("e>0)($ n_e):("n> n_e)("хÎЕ)[|r_n(x)|<e]Þ(опр 5.2.)Þ ряд(1)сх-ся равномерно на Е. g