Свойства степенных рядов

Сформулируем без доказательства основные свойства степенных рядов.

1. Сумма степенного ряда (3) является непрерывной функцией в интервале сходимости .

2. Степенные ряды и , имеющие радиусы сходимости соответственно и , можно почленно складывать, вычитать и умножать. Радиус сходимости произведения, суммы и разности рядов не меньше, чем меньшее из чисел и .

3. Степенной ряд внутри интервала сходимости можно почленно дифференцировать; при этом для ряда

(7)

при выполняется равенство

(8)

4. Степенной ряд можно почленно интегрировать на каждом отрезке, расположенном внутри интервала сходимости; при этом для ряда (7) при выполняется равенство

(9)

Ряды (7) и (8) имеют тот же радиус сходимости, что и исходный степенной ряд.

Перечисленные свойства 1-4 остаются справедливыми и для степенных рядов вида (4).

Свойства степенных рядов широко используются в теоретических исследованиях и в приближенных вычислениях.