Ограниченные и неограниченные множества

Прямая

Интервал

Отрезок

ПРОМЕЖУТКИ

Свойства модуля

МОДУЛЬ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ЧИСЛА

П.2. Расширение множества действительных чисел

Определение 2.1. Если множество R (действительных чисел) дополнить символами + и –, и ввести операции «сложения», «умножения», отношение порядка следующим образом:

1. выполняется неравенство – < x <+.

2.

3.

4. Если x >0, то; если x <0, то.

5.;

6. Операции неопределенны.

Тогда полученное множество называется расширенным множеством действительных чисел и обозначается или.

Определение 3.1. Модуль (абсолютная величина) действительного числа х обозначается | х | и определяется следующим образом:

Модуль числа х равен расстоянию от точки х до начала отсчёта 0.

Для любого действительного числа х выполняются следующие неравенства и равенства:

1^о.

Доказательство.

2^о. Пусть а >0, тогда

Доказательство.

3^о. Пусть а >0, тогда

4^о.

Доказательство.

5^о.

Доказательство.

6^о.

7^о.

Доказательство 6^о и 7^о вытекает из правил умножения и деления действительных чисел и Опр.3.1.

Определение 4.1. Пусть a,b – действительные числа, причём a<b. Промежутком (числовым промежутком) называется каждое из следующих множеств

полуинтервал или

полупрямая (луч) или

открытая полупрямая (открытый луч) или

Множество [ a;b ] называется отрезком с началом a и концом b; (a;b) – интервалом с началом a и концом b; [ a;b), (a;b ] – полуинтервалом с началом a и концом b; любое число х (a<x<b) называется внутренней точкой этих промежутков.

Множества называются бесконечными промежутками.

Изобразим эти множества на числовой прямой:

[ a;b ]

[ a;a ]

(a;b)

[ a;b)

(a;b ]

Определение 4.2. О крестностью точки а называется любой интервал, содержащий точку а.

Геометрически окрестность изображают следующим образом:

Определение 4.3. Пусть. -окрестностью точки а называется интервал (а –; а +), т.е. множество всех действительных х, удовлетворяющих неравенству | х – а |<. При этом число называется радиусом окрестности, а точка а – центром окрестности. Обозначают U (a;).

Геометрически -окрестность изображают следующим образом:

Определение 4.4. Пусть. Выколотой -окрестностью точки а называется интервал (а –; а +) без точки а, т.е. множество всех действительных х, удовлетворяющих неравенству 0<| х – а |<. Обозначают

Геометрически изображают следующим образом:

Пример. Построить на координатной прямой U (2; 0,5)

В этом параграфе будем рассматривать только числовые множества и кратко будем называть их «множества».

Определение 5.1. Множество Х называется ограниченным сверху (снизу), если существует такое число M (m), что (). Число M (m), называется верхней (нижней) границей множества Х.

Пример 5.1. Найти верхнюю и нижнюю границы множеств:

Определение 5.2. Множество Х называется ограниченным, если оно ограничено и сверху и снизу, т.е. существуют такие числа M и m, что. В противном случае оно называется неограниченным.

Это определение равносильно следующему

Определение 5.3. Множество Х называется ограниченным, если существует такое число M >0, что. Множество Х называется неограниченным, если для любого числа M >0 существует такое число, что.

Определение 5.4. Наименьшая (наибольшая) из верхних (нижних) границ ограниченного сверху (снизу) множества Х называется верхней (нижней) гранью множества Х и обозначается sup X (inf X), читается supremum (infimum).