Ряд геометрической прогрессии

Исследуем сходимость ряда

, (6)

который называется рядом геометрической прогрессии. Ряд (6) часто используется при исследовании рядов на сходимость.

Как известно, сумма первых n членов прогрессии находится по формуле Найдем предел этой суммы

Рассмотрим следующие случаи в зависимости от величины q:

1. Если , то . Поэтому ряд (6) сходится, его сумма равна ;

2. Если , то . Поэтому ряд (6) расходится;

3. Если , то при ряд (6) принимает вид для него и т. е. ряд (6) расходится; при ряд (6) принимает вид – в этом случае при четном n и при нечетном n. Следовательно, не существует, ряд (6) расходится.

Итак, ряд геометрической прогрессии сходится при и расходится при .

Пример 1. Показать, что ряд сходится.

Решение: Данный ряд можно переписать так:

Как видно, он представляет собой ряд геометрической прогрессии с и . Этот ряд сходится согласно свойству 1 числовых рядов.