2014-02-02
1202
Бесконечные ряды широко используются в теоретических исследованиях математического анализа, имеют разнообразные практические применения.
Числовым рядом (или просто рядом) называется выражение вида
(1)
где 
– действительные или комплексные числа, называемые членами ряда, а 
– общим членом ряда.
Ряд (1) считается заданным, если известен общий член ряда , выраженный как функция его номера 
Сумма первых n членов ряда (1) называется n -ой частичной суммой ряда и обозначается через 
, т. е. 
.
Рассмотрим частичные суммы
Если существует конечный предел 
последовательности частичных сумм ряда (1), то этот предел называют суммой ряда (1) и говорят, что ряд сходится. Записывают 
.
Если 
не существует или 
, то ряд (1) называют расходящимся. Такой ряд суммы не имеет.
Рассмотрим примеры:
1. Ряд 
нельзя считать заданным, а ряд 2 + 5 + 8 +… – можно: его общий член задается формулой 
2. Ряд 0 + 0 + 0 + … + 0 + … сходится, его сумма равна 0.
3. Ряд 1 + 1 + 1 + … + 1 + … расходится, 
4. Ряд 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + … расходится, так как последовательность частичных сумм 1, 0, 1, 0, 1, 0… 
не имеет предела.
5. Ряд 
сходится. Действительно,
Следовательно,
=
т. е. ряд сходится, его сумма равна 1.
Рассмотри некоторые важные свойства рядов.
Свойство 1. Если ряд (1) сходится и его сумма равна S, то ряд
(2)
где с – произвольное число, также сходится и его сумма равна 
. Если же ряд (1) расходится и
, то и ряд (2) расходится.
Обозначим n- ю частичную сумму ряда (2) через 
. Тогда
.
Следовательно,
т. е. ряд (2) сходится и имеет сумму сS.
Покажем теперь, что если ряд (1) расходится, , то и ряд (2) расходится. Допустим противное: ряд (2) сходится и имеет сумму S1. Тогда
.
Отсюда получаем:
т. е. ряд (1) сходится, что противоречит условию о расходимости ряда (1).
Свойство 2. Если сходится ряд (1) и сходится ряд
, (3)
а их суммы равны 
и 
соответственно, то сходятся и ряды
(4)
причем сумма каждого равна соответственно 
.
Обозначим n -е частичные суммы рядов (1), (3) и (4) через , 
и соответственно. Тогда
т. е. каждый из рядов (4) сходится, и сумма его равна соответственно.
Из свойства 1 вытекает, что сумма (разность) сходящегося и расходящегося рядов есть расходящийся ряд.
В справедливости этого утверждения можно убедиться методом от противного.
Заметим, что сумма (разность) двух расходящихся рядов может быть как сходящимся, так и расходящимся рядом.
Свойство 3. Если к ряду (1) прибавить (или отбросить) конечное число членов, то полученный ряд и ряд (1) сходятся или расходятся одновременно.
Обозначим через S сумму отброшенных членов, через k – наибольший из номеров этих членов. Чтобы не менять нумерацию оставшихся членов ряда (1), будем считать, что на месте отброшенных членов поставили нули. Тогда при 
будет выполняться равенство 
где 
– это n – я частичная сумма ряда, полученного из ряда (1) путем отбрасывания конечного числа членов. Поэтому 
. Отсюда следует, что пределы в левой и правой частях одновременно существуют или не существуют, т. е. ряд (1) сходится (расходится) тогда и только тогда, когда сходятся (расходятся) ряды без конечного числа его членов.
Аналогично рассуждаем в случае приписывания к ряду конечного числа членов.
Ряд
(5)
называется n -м остатком ряда (1). Он получается из ряда (1) отбрасыванием n первых его членов. Ряд (1) получается из остатка добавлением конечного числа членов. Поэтому, согласно свойству 3, ряд (1) и его остаток (5) одновременно сходятся или расходятся.
Из свойства 3 также следует, что если ряд (1) сходится, то его остаток
стремится к нулю при 
, т. е. 
