Ускорение Кориолиса. Сила земного притяжения. Сила тяжести

Решение задач динамики точки в системе отсчета связанной с Землей.

Движение снаряда под силой тяжести.

Зависимость плотности нормальной артиллерийской атмосферы от высоты.

Эту зависимость получим, исходя из гипотезы вертикального равновесия атмосферы.

Будем считать, что горизонтальные слои воздуха в вертикальном направлении находятся в равновесии, так что слой воздуха элементарной толщины dy уравновешивается разностью давлений на верхнее и нижнее основание слоя (см. рис.3.1).

Выделим элемент слоя высотой dy и площадью основания S. Вес элемента.

Сила давления на нижнее основание равна

На верхнее основание

.

Из условия равновесия в проекции на ось y следует

Сократив S и “+”P(y);”-”P(y), получаем

(3.2.1)

Или 13.6, где из уравнения состояния (3.1.8) получим

или

(3.2.2)

Из (3.2.2) с учетом (3.1.10), (3.1.11) получим:

ü для тропосферы

Интегрируем в пределах от значений на поверхности Земли h = h₀, y = 0 до текущих значений.

(3.2.3)

ü для стратосферы

Интегрируем от значений h_ss, y_ss – давления и высоты нижней границы стратосферы до текущих

(3.2.4)

Если в формулах (3.2.3), (3.2.4) в качестве τ₀, h₀, G, h_ss, τ_ss, выбрать параметры нормальной артиллерийской атмосферы, то они зададут распределение давления воздуха в НАА по высоте. Нижняя граница стратосферы имеет параметры h_ss = 145.4 мм.рт ст., τ_ss = 221.5К⁰, y_ss = 12км.

Введем безразмерную функцию, задающую распределение плотности по высоте

(3.2.5)

Учтем, что тогда в тропосфере с учетом (3.2.3) получим,

(3.2.6)

Y	H(y)
…..	…..
34км	…..

в стратосфере с учетом (3.2.4), (3.1.11) получим

Для функции H(y) составлены таблицы

(3.2.7)

Вместо таблиц можно использовать аппроксимирующие их зависимости (с точностью 3..5 %), где 1/м;

при м;

при м;

при м.

Или эмпирическую формулу проф. В.П. Ветчинкина

при м

Земля представляет собой сплюснутый с полюсов сфероид. Сжатие Земли с полюсов составляет всего 1/297 от экваториальной полуоси. Поэтому им пренебрегают и считают Землю сферой по среднему радиусу м.

Земля вращается вокруг своей оси с периодом 23h56’45” = 86164c, что соответствует Ω = 7.292-10^-5 1/c.

При рассмотрении движения снаряда в системе отсчета, связанной с Землей, в число сил, действующих на снаряд следует включать силы инерции – переносную
и Кориолисов. Переносная сила инерции включает как слагаемое в силу тяжести.

а) Оценим ускорение, сообщаемое снаряду Кориолисовой силой инерции

,

где - скорость снаряда. Положим V = 1000 м/с, а, тогда получим м/с²

Сосчитаем отношение ускорения Кориолиса к ускорению силы тяжести g = 9.81 м/с²

, то есть ускорение снаряда сообщенное силой Кориолиса составляет около 1.5% от g.

Влияние Кориолисовой силы инерции на движение снаряда может быть заметным при больших скоростях, то есть при стрельбе на дистанции 100 и более км. В этих случаях оно обычно учитывается в виде поправок к результатам расчета траектории без учета влияния силы Кориолиса.

б) Под силой тяжести понимают равнодействующую силы земного притяжения и силы инерции переносного движения (см.рис.4.1)

(4.1.1)

или, после деления на массу снаряда, получим то же соотношение для ускорений

(4.1.2)

Угол λ называется геоцентрической широтой места.

Угол Л называется географической широтой места.

Л

Применив теорему косинусов к рис.4.1, получим

или (4.1.3)

Поскольку, то слагаемое y1 в (4.1.3) не превосходим 1 и можно разложить (4.1.3) в биноминальный ряд

или (4.1.4)

формула (4.1.4) дает приближенную зависимость ускорения силы тяжести от широты места (при ее выводе Земля полагалась сферической и G- постоянным). Оценим значимость второго слагаемого (4.1.4).

Полагая, т.е. беря максимальное значение, получим

м/с²,

относя эту величину к g = 9.81 м/с², получим

Т.е. отличия ускорения силы тяжести, вызванные наличием центробежной силы инерции, от обычно используемого значения g = 9.81 м/с² не превышают 0.3%, так что с высокой степенью точности можно пренебрегать зависимостью g от широты места и считать, что совпадает с.

в) Рассмотрим зависимость ускорения силы тяжести g от высоты. Из предыдущего ясно, что g меняется с высотой так же, как ускорение силы притяжения к Земле, т.е. обратно пропорционально квадрату расстояния

(4.1.5)

Полагая разложим (4.1.5) в биноминальный ряд, получим

(4.1.6)

Q точностью до малых второго порядка

(4.1.7)

Для обычных траекторий слагаемое и зависимостью g(y) можно пренебречь, полагая, что g(y)= g= 9.81 м/с². При стрельбе на большие дальности порядка 200 км высота траектории может достигать 60 км. При этом

,

т.е. влияние зависимости g(y) может быть существенным. В таких случаях она либо учитывается при расчете траектории, либо в результаты расчета траектории при g= const вносят поправку.

Рассмотрим влияние изменения направления силы тяжести на движение снаряда. Оно сводится к появлению горизонтальной составляющей, приводящей к уменьшению горизонтальной дальности X (см. рис. 4.2) максимальное значение достигается в точке падения и равно

При дальности порядка 200 км

Отметим, что уменьшение X за счет изменения направления компенсируется за счет убывания g с высотой, так что в целом влияние зависимости g(y) и изменение направления следует учитывать лишь для дальности более 50 км.