Численные методы интегрирования

2.1. Метод прямоугольников

Использует простейшую кусочно-ступенчатую аппроксимацию подинтеграль­ной функции на элементарных отрезках, заменяя ее постоянным значением . В качестве точек можно принять левые , правые границы или середину элементарных отрезков. При этом интеграл заменяется интегральной суммой: .

При , например для метода прямоугольников, имеем:

.

2.2. Метод трапеций

Использует кусочно-линейную аппроксимацию функции по двум граничным точкам на каждом элементарном отрезке. Интеграл представляет собой сумму площадей элементарных трапеций:

,

где .

2.3. Метод Симпсона

Отрезок интегрирования разобьем на четное число равных частей с шагом . На каждом элементарном отрезке подынтегральную функциюаппроксимируем многочленом Лагранжа 2-й степени (через 3-и точки можно провести единственную параболу). Элементарная площадь может быть вычислена с помощью определенного интеграла: , где – полином Лагранжа;

; ; . После суммирования имеем:

2.4. Погрешность численного интегрирования

Погрешностьчисленного интегрирования равна:и зависит от шага разбиения h интервала . Её можно представить в виде ─ порядка k (). Из этого следует, что при , значения интеграла, получаемые путем численного интегрирования, сходятся к его точному значению.

Главный член погрешности формулы прямоугольников на каждом элементарном отрезке равен , для формулы трапеций . Главный член погрешности метода Симпсона имеет вид , из чего следует, что метод Симпсона дает погрешность вычисления площади на каждом отрезке ~ в h /7,5 меньшую, чем метод прямоугольников.

При равноых интервале интегрирования и числе его разбиения n на элементарные отрезки метод прямоугольников имеет ошибку вычисления интеграла равную ,

а метод Симпсона (парабол) т.е. на порядок меньшую.