Теория Борна

Поляризация ионных кристаллов с малой e.

К ионным кристаллам относятся неорганические стекла, а так же диэлектрики содержащими стекловидную фазу (фосфор) и все другие кристаллические диэлектрики с неплотной упаковкой частиц в решетке. В этих диэлектриках происходят два вида поляризации – электронная и ионная. Большинство ионных кристаллов имеет весьма сложное строение и поэтому строго описать математически происходящие в них процессы достаточно сложно. По этой причине строгой теории поляризации ионных кристаллов не существует. Однако для ионных кристаллов имеющих простое строение можно использовать теорию Борна.

Рассмотрим теорию Борна на бинарных кристаллах NaCl, KCl.

Помещаем кристаллы в электрическое поле.

При этом считаем, что внутреннее поле равно внешнему , тогда

. (1)

учитывая, что влияет несколько поляризаций

. (2)

Подставим (2) в (1):

(3)

(4)

Приравниваем выражение (3) и (4):

(5) (6)

e - обусловленная электрической поляризацией»n².

(7)

Подставим выражение (7) в (6):

; (8)

Ионы в кристаллической решетке совершают хаотические колебания около положения равновесия, при этом, угловую частоту w таких колебаний определяют по эмпирической формуле:

, (9) где k коэффициент упругой связи;

m – масса материальной точки, которая совершает тепловые колебания.

Поскольку тепловые колебания совершает молекула состоящая из двух ионов, каждый из которых имеет свою массу, то в этом случае для того, чтобы использовать выражение (9) вводят понятие приведенной массы, т.е. массу двух ионов приводят к одной массе:

, , где m – приведенная масса.

Тогда из выражения (9):

(10)

Из физики нам известно, что если материальная точка перемещается под действием упругой силы F, то величина этой силы прямо пропорциональна величине перемещения материальной точки:

, где Dx – величина перемещения; k – коэффициент упругой связи.

Если F – сила электрического поля, тогда

Отсюда . (11)

Индуцируемый электрический момент определим как:

или .

; (12)

Подставим выражение (12) в (8):

; ,

– формула Борна. (13)

(14)

Подставим выражение (14) в (13):

; .

Поскольку при выводе формулы Борна предполагалось, что поле действующее на ионы равно внешнему полю. хотя это не так, то формула Борна дает несколько заниженное по сравнению с фактическим значение e и справедливо лишь для кристаллов с малой e (e<10).