Характеристики потоков вызовов

Свойства и характеристики потоков вызовов

Случайные потоки вызовов классифицируются в зависимости т наличия трех свойств:

– стационарности;

– последействия;

– ординарности.

Стационарность потока означает, что с течением времени вероятностные характеристики не меняются. Для стационарного потока P_k (t ₀, t)зависит только от величины промежутка t_k, t ₀и не зависит от t ₀. Стационарный поток поэтому можно задавать семейством условных вероятностей Fi (t) поступления k вызовов в промежутке t, если в начальный момент промежутка поступил вызов.

Последействие означает зависимость вероятностных характеристик потока от предыдущих событий.

Стационарный поток без последействия можно задавать семейством вероятностей P_k (t)поступления k вызовов на промежутке t.

Ординарность потока означает практическую невозможность группового поступления вызовов. Вероятность поступления двух и более вызовов за любой бесконечно малый промежуток времени ∆ t есть величина более высокого порядка малость, чем этот промежуток

P_k_≥2 (∆ t) = 0 (∆ t)

Ведущая функция случайного пока х (0, t) есть математическое ожидание числа вызовов в промежутке времени (0, t).

Параметр потока λ(t) в момент времени t есть предел отношения вероятности поступления не менее одного вызова в промежутке [ t, t +∆ t) к величине этого промежутка ∆ t если ∆ t стремится к нулю.

Параметр определяет плотность вероятности наступления вызывающего момента в момент t. Из этого определения следует, что вероятность поступления хотя бы одного вызова пропорциональна Δ t_k λ(t)

P_i _≥1 (t, t+ Δ t) = λ(t) + 0(Δ t)

Для стационарного потока параметр не зависит от t, и является постоянным.

P_i _≥1 (Δ t) = λ(Δ t) + 0(Δ t)

Интенсивность стационарного потока μ – есть математическое ожидание числа вызовов в единицу времени.

Если рассматривать общий случай, то есть средняя интенсивность и мгновенная интенсивность.

Средняя в промежутке есть матожидание числа вызовов в промежутке в единицу времени.

x (0,t₂) – x (0,t₁)

μ(t₁,t₂) =

t ₂ – t ₁

Мгновенная интенсивность есть производная о ведущей функции по времени

x (0, t +Δ t) – x (0, t)

μ(t) = lim

Δ t 0 Δ t

Соотношения между λ и μ.

Интенсивность характеризует поток вызовов, а параметр потока – вызывающие моменты.

Поэтому μ ≥ λ для ординарного μ = λ.

На основе свойств потоков и производится классификация.

1. Простейший (Пуассоновский).

2. Примитивный (Энгсетовский).

3. Пуассоновский со случайным параметром.

4. Неординарный Пуассоновский.

5. Пуассоновский с неординарными вызовами.

6. Сглаженный.

7. С повторными вызовами..

8. С ограниченным последействием.

Из перечисленных нас будут интересовать только 1, 2 и 7.

Простейший поток вызовов

Определение. Стационарный, ординарный поток без последействия называется простейшим или Пуассоновским. Задается простейший поток семейством вероятностей P_i (t) поступления i (i = 0…∞) вызовов за промежуток (t).

Вероятность поступления P_i (t) определяется формулой Пуассона.

P_i (t) = (λ tⁱ e^–^λ^t) / i!

Простейший поток обладает набором свойств, среди которых основное – равенство математического ожидания и дисперсии числа вызовов.

Mi = Di = λ t

Это свойства используются для распознавания простейшего потока.

Другое важное свойство – при объединении простейших потоков образуется общий поток тоже простейший с параметром равным сумме параметров исходных потоков.

λ = λ₁ + λ₂

Примитивный поток вызовов

Ординарный поток, параметр которого λ _і пропорционален числу свободных источников N_i в состоянии обслуживающей системы i, называется примитивным/

λ _i = α N_i = α (N – i)

где α – параметр одного источника в свободном состоянии;

N – общее число источников;

i– число занятых источников.

Примитивный поток с ростом числа источников N и уменьшением α переходит в простейший, так как при достаточно большом N λ = N α и меньше сказывается последействие. При числе источников больше 300 можно поток, создаваемый этими источниками можно принимать за простейший.

Поток с повторными вызовами

Повторные вызовы появляются вследствие отказа в обслуживании. Поток с повторными вызовами можно записать

λ _i = α (N – I – j) + β j

где j– число источников, повторяющих вызовы,

β – интенсивность повторений одним источником.

Так как параметр определяется состоянием системы, то такой поток является с простым последействием.

Время обслуживания и поток освобождений

Время обслуживания может быть детерминированным и случайным. Детерминированный задается последовательностью величин h_k. Если h_k = h получим постоянное время обслуживания.

Случайное время обслуживания задается законом распределения времени обслуживания

Наиболее простым является показательный закон, который и принят для задания времени обслуживания.

р (ξ < t) = 1 – e^t/h

где h – среднее время обслуживания.

В дальнейшем величину h среднее время обслуживания принимаем за условную единицу времени.

h = 1 у.е.в.

Последовательность моментов окончания обслуживания образуют поток освобождений. Параметр потока освобождений прямо пропорционален числу занятых источников.

λ_осв= k / h

Лекция 5

5 Нагрузка и характеристики качества обслуживания

Для характеристики процесса обслуживания вызовов коммутационной системой вводится понятие нагрузки и работы.

Обслуживаемая в момент времени t нагрузка есть число i (t) одновременно занятых обслуживанием приборов (линий, выходов коммутационной системы) в момент времени t. Так как нагрузка случайная величина то используют все математические моменты, матожидание, дисперсия и др. Работа – суммарное время занятия всех приборов за рассматриваемый период времени.

Для расчетов числа линий (приборов) используют понятие интенсивности нагрузки как математическое ожидание нагрузки. Единицей интенсивности нагрузки есть Эрланг (Эрл). Интенсивность в один Эрл создает одна постоянно занятая линия. Единицей измерения работы есть часозанятие.

Виды нагрузки

Нагрузка обслуженная системой называется обслуженной и обозначается Y.

Нагрузка для идеальных систем, где полностью обслуживаются все вызовы называется потенциальной – А.

Разница между потенциальной и обслуженной нагрузкой называется потенциальной Y пот.

Нагрузка, которая могла быть в реальной системе, если все вызовы занимались на необходимое для обслуживания время, называется поступающей нагрузкой и обозначается Λ.

Разность между поступающей и обслуженной нагрузками называется избыточной. И обозначается R.

Основные параметры нагрузки

Нагрузку от группы абонентов рассчитывается по формуле

Y = N c t

где N – число источников нагрузки;

c – среднее число вызовов от одного источника в единицу времи.;

t – средняя длительность занятия при обслуживании вызовов;

Источники могут быть разных категорий – квартирные, административные, деловые, таксофоны и т д.

Занятия могут быть успешные и неуспешные вследствие разных причин.

Нормальное соединение разделяется на несколько этапов:

t р = t со + tнн + t у t пв T + t осв.

Для учета перегрузок за счет неверных соединений используется коэффициент α, а недогрузки за счет несостоявшихся разговоров учитывается коэффициент состоявшихся разговоров К р и расчет среднего времени разговоров рассчитывается по формуле:

t = α К р t р

К р может находится в предела 0,3…0,6, а α – 1,1…1,6 и зависит от К р и Т. Чем больше К р и Т тем меньше α.. Есть графики по которым можно определить α..

Произведение c t есть удельная нагрузка от одного источника и рассчитывается по формуле у = α c К р t р и интенсивность нагрузки от многих источников с учетом категорий рассчитывается по формуле

Y = ∑ Niуi

i=1

Концентрация нагрузки

Интенсивность нагрузки в разное время суток разная. Можно показать на графике.

На АТС-2 больше абонентов делового сектора, а на АТС-3 больше абонентов квартирного сектора. Все расчеты сетей производятся для часа наибольшей нагрузки ЧНН.

Отношение интенсивности нагрузки в ЧНН к работе за сутки носит названия концентрации нагрузки и находится в пределах 0,08…0.15.

Характеристики качества обслуживания

Дисциплины обслуживания

Дисциплины обслуживании я м. б. с потерями и без потерь. Без потерь, когда все вызовы обслуживаются.

Дисциплина с потерями, если вызов поступает в момент, когда все обслуживающие приборы заняты, и вызов получает отказ или задерживается в обслуживании. В основном КС работают с потерями. Различают – явные потери, условные потери и комбинированные.

Дисциплина с явными потерями, если вызов, поступивший в момент занятости, получает отказ и в дальнейшем не оказывает на систему никакого влияния. Для этого случая рассматриваю потери по вызовам, потери по времени и потери по нагрузке.

Pн = Aпот/A Pв = Λпот/Λ

Потери по времени это вероятность занятости всех доступных для обслуживания приборов. Pt = Pv

Для дисциплины с ожиданием рассматривают несколько характеристик качества обслуживания – вероятность ожидания, вероятность ожидания сверх допустимого времени, средняя длительность времени ожидания, средняя длина очереди.

Для системы с повторными вызовами появляются еще и характеристики, относящиеся к повторениям вызовов.

Вероятности всех видов потерь измеряются долями, процентами или, что делается чаще, промилями т.е. тысячными долями. Одна промилле равняется потери одного вызова на 1000 поступивших.

Пропускная способность коммутационных систем

ПСКС – интенсивность обслуженной нагрузки этой системой с заданным качеством обслуживания. (потерями). ПС зависит от свойств потока, закона распределения времени обслуживания, структуры КС, способа включения выходов из КС, дисциплины обслуживания и норм качества обслуживания. Наряду с ПС системы рассматривают пропускною способность одной линии (выхода). Эти величины называют использованием линий или средним использованием, что соответствует удельной нагрузке на одну линию

η = Y/V, где V – число обслуживаемых приборов.

Основные распределения вероятностей состояния полнодоступного пучка

В пучках обслуживающих приборов могут быть V приборов. Однако не все они могут быть доступны каждому источнику (входу). Пучок будет полнодоступным, если все приборы доступны всем входам (источникам) и неполнодоступным– если каждому входу доступны только D из всех V т.е.

V = D пучок полнодоступный и V > D – неполнодоступный.

В зависимости от:

1. Характера потока.

2. Структуры коммутационной системы.

3. Дисциплины обслуживания.

4. Закона распределения времени обслуживания.

Вероятность занятия выходов коммутационной системы описываются различными распределениями.

Для случая полнодоступной системы, примитивного потока вызовов, дисциплины с явными потерями и экспоненциальным законом распределения времени обслуживания используется распределение Энгсета

Pi = C_Nⁱ α ⁱ / (∑ C_N^j α ^j)

j =0

Для тех же условий, только поток простейший используется первое распределение Эрланга

Pi = (λⁱ/i!) / ∑ λ ^j/j!)

j = 0

Если поток примитивный и число приборов равно числу источников то используется распределения Бернулли

Pi = С_Nⁱ aⁱ (1 – a) ^N–I, a = α / ( 1 + α )

Если поток простейший и число приборов стремится к бесконечности, то используется распределение Пуассона.

Pi = (λ ⁱ / i!) e^– ^λ

Если во всех распределениях i = V, то получим формулы: Энгсета, первая формула Эрланга, а это значит, что вероятность занятости всех линий определяется этими формулами.

Обслуживание простейшего потока вызовов полнодоступным пучком.

Вероятность занятости всех линий равна вероятности потерь по времени отсюда

Pv = (λ^v/v!) / ∑ λ ^j/j!) = Pt = P н = Ev(λ)

j = 0

Это и есть первая формула Эрланга, которая табулированная в таблицах и используется для определения числа линий для обслуживания простейшего потока вызовов. Ей мы будем пользоваться.

Обслуживание примитивного потока полнодоступным пучком.

Вероятность занятости всех линий равна вероятности занятости всех линий. Отсюда

Pt = Pv = C_N^v α ^v / (∑ C_N^j α ^j) = ε (n,v, α)

j =0

Формула Энгсета табулирована, и по таблицам можно определять количество линий необходимое для обслуживания примитивного потока вызовов.

Обслуживание простейшего потока вызовов неполнодоступной схемой при постоянной доступности

Распределения для этого случая сложны и ими практически не пользуются. На практике используются инженерные методы расчета количества линий. Формула Британского почтового ведомства. (БПВ.

V = D + (Y – Y_D) α, α = 1 / ^D √ p, α табулирован в таблицах в зависимости от доступности D и вероятности потерь p.

Обслуживание простейшего потока вызовов двухкаскадной неполнодоступной схемой

В двухкаскадной неполнодоступной схеме доступность величина не постоянная из-за занятия промежуточных линий. Поэтому для того чтобы использовать формулу БПВ необходимо вычислить эффективную доступность D э.

D э. = D min + Θ (D ср. – D min),

Θ выбирается в пределах 0,75…0,85) эмпирический коэффициент.

D min = (m_a – n_a +1) q

m_a – число выходов из одного коммутатора каскада А, n_a – число входов в один коммутатор каскада А, q – число выходов в направлении из одного коммутатора каскада В.

D ср. = (m_a – Ym_a) q

Ym_a = a n_a – интенсивность нагрузки обслуженной одним коммутатором каскада А. Обычно a (удельная нагрузка на один вход КС) принимается равным 0,5 Эрл.

Этот метод расчета используется для линий из координатных АТС.

Линии от цифровых АТС рассчитываются по первой формуле Эрланга.

Вторая формула Эрланга используется для расчетов линий для дисциплины с ожиданием.

Распределение интенсивности нагрузки на телефонной сети

Для расчета количества соединительных линий на сети необходимо знать интенсивности нагрузок на этих линиях

Рассмотрим структуру АТС (рис. 6.5).

Для расчетов нагрузку необходимо спрогнозировать. Прогнозирование производится на основании исследований интенсивности нагрузки на действующих телефонных сетях. Для прогноза чаще всего используются удельные нагрузки по каждой категории абонентов или усредненные с учетом доли абонентов квартирного сектора.