Глава 6. ПЕРЕМЕЩЕНИЯ ПРИ ИЗГИБЕ
Если материальная точка находится в равновесии под действием некоторой системы сил (рис. 6.1), то сумма работ этих сил на любом возможном перемещении равна нулю.
. (6.1)
Рис. 6.1
Любое упругое тело можно рассматривать как систему материальных точек, находящихся в равновесии под действием внешних и внутренних сил упругости. Следовательно, работа всех внешних и внутренних сил упругости на любом возможном перемещении для упругого тела равна нулю.
Пусть под воздействием внешних сил в балке возникли действительные перемещения , и под действием внешних и внутренних сил упругости оно находится в равновесии (рис. 6.2,а). Назовем его действительным состоянием (I состояние). Представим себе II состояние (фиктивное), в котором все силы есть вариации сил действительного состояния, тогда и перемещения в нем будут вариациями перемещений первого состояния (рис. 6.2,б). Составим работу сил первого состояния на перемещениях второго.
Рис. 6.2
, (6.2)
где — работа внутренних сил. Тогда можно записать
|
|
. (6.3)
Возьмем теперь два состояния упругой системы (рис. 6.3).
Рис. 6.3
Рассматривая перемещения точек состояния I (рис. 6.3,а) как возможные, составим на основании принципа Лагранжа работу II — состояния (рис. 6.3,б) на перемещениях I.
, (— связана со статическим приложением силы)
или . (6.4)
Вычислим работу внутренних силовых факторов второго состояния на перемещениях первого. Для этого из I и II состояний вырежем участок бруса длиной (рис. 6.3).
Элементарная работа внутренних сил II состояния на перемещениях I, равна:
.
Деформации малого элемента определяются по известным формулам.
При растяжении: .
При изгибе, кручении: , , .
При сдвиге: .
Абсолютный сдвиг: ; ; ; .
Т.к. касательные силы распределены по сечениям неравномерно то , где — поправочный коэффициент, учитывающий неравномерное распределение касательных напряжений (рис. 6.4).
Рис. 6.4
Подставляя перемещения в выражения для , получим:
Для всей системы
Подставляя в уравнение Лагранжа (6.3), получим
(6.5)
В правой части этого выражения стоят интегралы Мора.
Если определяются перемещения в пространственных системах, то первыми тремя интегралами пренебрегают.
(6.6)
Если определять перемещения в плоских балках, рамах, то
(6.7)
Если определять перемещения в фермах, то
(6.8)