2014-02-02
538
В предыдущем параграфе мы видели, что при чистом изгибе возникают только нормальные напряжения. Соответственно внутренние силы приводятся к изгибающему моменту в сечении.
При поперечном изгибе в сечении бруса возникает не только изгибающий момент, но и перерезывающая сила. Эта сила является равнодействующей элементарных сил, лежащих в плоскости сечения (рис.5.8).
Рис. 5.8
Таким образом, при поперечном изгибе возникают не только нормальные, но и касательные напряжения. Возникновение касательных напряжений 
сопровождается появлением угловых деформаций 
. Поэтому нарушается гипотеза плоских сечений. На рис 5.9 показана типичная картина искривления поперечных сечений.
Рис. 5.9
Теоретически и экспериментально доказано, что искажение плоскости поперечных сечений заметным образом не сказывается на величине нормальных напряжений. Таким образом, нормальные напряжения при поперечном изгибе вычисляются по тем же формулам, что и при чистом изгибе
.
Тем самым гипотеза плоских сечений распространяется на поперечный изгиб.
Теперь определим приближенно величину касательных напряжений при поперечном изгибе. Выделим из бруса элемент длиной 
(рис. 5.10).
При поперечном изгибе моменты, возникающие в левом и правом сечениях элемента, не одинаковы и отличаются на величину 
.
Продольным горизонтальным сечением, проведенным на расстоянии 
от нейтрального слоя (рис. 5.10,б) разделим этот элемент на две части и рассмотрим условие равновесия верхней части. С правой стороны напряжения в каждой точке больше, чем с левой, т.к. изгибающий момент справа больше чем слева (рис.5.10,б).
Рис. 5.10
Равнодействующая нормальных сил 
в левом сечении в пределах заштрихованной площади 
равна
или согласно формуле (5.8)
,
где 
— текущая ордината площадки 
(рис. 5.10,б),
— статический момент относительно оси 
части площади, расположенной выше продольного сечения .
Тогда
.
В правом сечении нормальная сила будет другой
.
Разность этих сил в правом и левом сечениях равна
.
Эта разность должна уравновешиваться касательными силами, возникающими в продольном сечении элемента (рис. 5.10,б и в).
В качестве приближения примем, что касательные напряжения распределены по ширине сечения 
равномерно.
Тогда 
.
Откуда 
(5.11)
Эта формула позволяет вычислять напряжения в продольных сечениях бруса. Напряжения в поперечных сечениях равны им по закону парности.
Таким образом, формула позволяет вычислять касательные напряжения в любых точках по высоте поперечного сечения.
Рассмотрим распределение касательных напряжений для некоторых типов поперечных сечений.
Прямоугольное сечение (рис. 5.11).
Возьмем произвольную точку 
, отстоящую от нейтральной оси 
на расстоянии . Проведем через эту точку сечение параллельно оси ; ширина этого сечения — .
Статический момент отсеченной (заштрихованной) части равен
; 
,
Рис. 5.11
Следовательно,
.
Как известно,
.
Подставляя полученные значения в формулу (5.11), имеем
(5.12)
Формула (5.12) показывает, что касательные напряжения по высоте сечения изменяются по закону квадратной параболы. При 
получим 
, а при 
имеем 
.
Двутавровое сечение (рис. 5.12). Характерной особенностью этого сечения является резкое изменение ширины сечения при переходе от стенки двутавра к его полке. В основном поперечную силу воспринимает стенка, а на долю полок приходится небольшая величина.
Рассмотрим произвольную точку (рис. 5.12). Проведем через эту точку линию параллельную оси . Статический момент площади верхней отсеченной части (заштрихована на рис. 5.12) может быть найден как сумма статических моментов площадей 
и 
:
.
Эта формула справедлива, когда точка находится в пределах вертикальной стенки, т.е. пока величина лежит в пределах 
. Эпюра касательных напряжений для вертикальной стенки имеет вид, показанный на рис. 5.12.
Рис. 5.12
.
.
