Ошибка выборки. Научным обоснованием случайных ошибок выборки являются теория вероятностей и ее предельные теоремы

Научным обоснованием случайных ошибок выборки являются теория вероятностей и ее предельные теоремы. Применительно к выборочному наблюдению пользуются теоремами русских математиков П.Л.Чебышева и A.M. Лягунова. Согласно этим теоремам с увеличением численности выборки размеры случайных ошибок сокращаются.

Различают среднюю и предельную ошибку выборки.

Средняя ошибка – такое расхождение между средними выборочной и генеральной совокупностями (), которое не превышает .

Средняя ошибка выборочной средней равна

где σ – среднее квадратическое отклонение признака, n – объем выборочной совокупности.

Доказано, что между и есть следующее соотношение

или

Предельная ошибка – максимально возможное расхождение этих средних, т.е. максимум ошибки при заданной вероятности ее появления.

Предельная ошибка выборочной средней равна

где t – нормированное отклонение, определяется по таблицам t-критерия Стьюдента исходя из числа наблюдений (n) и доверительной вероятности (90%, 95%, 99%).

При числе наблюдений более 200 для доверительной вероятности 90% t =1,645; 95% - 1,96; 99% - 2,576.

Отсюда предельные значения генеральной средней определяются как

Это означает, что с заданной вероятностью значение генеральной средней будет находиться указанных в пределах.

Пример 7.5. Для определения скорости расчетов с кредиторами предприятия была проведена случайная выборка 50 платежных документов, по которым средний срок перечисления денег оказался равен 28,2 дня со стандартным отклонением 5,4 дня. Определить средний срок прохождения всех платежей в течение данного года с доверительной вероятностью 0,95.

Скорректированная дисперсия равна

Средняя ошибка выборочной средней равна

дня.

Значение нормированного отклонения для доверительной вероятности 0,95 равно 1,96. Тогда, предельная ошибка выборочной средней равна

дня.

Предельные значения X

дня.

Таким образом, с вероятностью 95% средняя продолжительность расчетов предприятия с кредиторами составляет не менее 26,69 дня и не более 29,71 дня.

Ошибка выборки для выборочной относительной величины (доли) определяется аналогично. Дисперсия относительной величины

где p – доля тех или иных единиц в выборке.

Среде значение переменной

Средняя ошибка выборочной доли

Предельная ошибка выборочной доли

Пример 7.6. По данным выборочного изучения 100 платежных документов предприятия оказалось, что в шести случаях сроки расчетов с кредиторами были превышены. Требуется установить доверительный интервал доли платежных документов предприятия без нарушения сроков с вероятностью 0,95.