2014-02-02
508
Пусть 
. Последнее означает, что
- положительная, следовательно, 
.
- ф.п.р.ч., следовательно, - ограниченная, тогда следовательно, 
. Поскольку поле рациональных чисел архимедовски расположенное, 
.
.
что и требовалось доказать.
Теорема 6. Поле действительных чисел является всюду плотным.
Доказательство.
Пусть 
. Для определенности положим, что 
. Тогда 
- положительная, следовательно, 
. Поскольку , - ф.п.р.ч, имеем
. Возьмем 
. Учитывая выше изложенное, получим
что и требовалось доказать.
