Гипербола. В классе нелинейных функций, параметры которых без особых затруднений оцениваются МНК, в эконометрике хорошо известна равносторонняя гипербола yp = a + b/x

В классе нелинейных функций, параметры которых без особых затруднений оцениваются МНК, в эконометрике хорошо известна равносторонняя гипербола y_p = a + b / x. Она может быть использована для характеристики связи удельных расходов сырья, материалов, топлива с объемом выпускаемой продукции, времени обращения товаров с величиной товарооборота не только на микроуровне, но и на макроуровне. Классическим ее примером является кривая Фuллипса, характеризующая нелинейное соотношение между нормой безработицы х и процентом прироста заработной платы у.

.

Английский экономист А. В. Филлипс, анализируя данные более чем за 100-летний период, в конце 1950-х годов XX в. установил обратную зависимость процента прироста заработной платы от уровня безработицы.

При b > 0 имеем обратную зависимость, которая при х ® ¥ характеризуется нижней асимптотой, т. е. минимальным предельным значением у, оценкой которого служит параметр а. Так, для кривой Филлипса y_p = 0,00679 + 0,1842/ x величина параметра а, равная 0,00679, означает, что с ростом уровня безработицы темп прироста заработной платы в пределе стремится к нулю. Соответственно можно определить тот уровень безработицы, при котором заработная плата оказывается стабильной и темп ее прироста равен нулю.

При b < 0 имеем медленно повышающуюся функцию с верхней асимптотой при х ® ¥ т. е. с максимальным предельным уровнем у, оценку которого в уравнении y_p = а + b / x дает параметр а. Примером может служить взаимосвязь доли расходов на товары длительного пользования и общих сумм расходов (или доходов). Математическое описание подобного рода взаимосвязей получило название кривые Энгеля. В 1857 г. немецкий статистик Э. Энгель на основе исследования семейных расходов сформулировал закономерность – с ростом дохода доля доходов, расходуемых на продовольствие, уменьшается. Соответственно с увеличением дохода доля расходов на непродовольственные товары будет возрастать. Однако этот рост не беспределен, ибо сумма долей на все товары не может быть больше единицы, или 100%, а на отдельные непродовольственные товары данный предел может соответствовать величине параметра а для уравнения вида

,

где – доля расходов на непродовольственные товары; х – доходы (или общая сумма расходов как индикатор дохода).

Правомерность использования равносторонней гиперболы для кривой Энгеля довольно легко доказать. Соответственно можно определить границу величины дохода, дальнейшее увеличение которого не приводит к росту доли расходов на отдельные непродовольственные товары.

Вместе с тем равносторонняя гипербола не является единственно возможной функцией для описания кривой Энгеля. В 1943 г. Уоркинг и в 1964 г. С. Лизер для этих целей применили полулогарифмическую кривую у = a + b × ln x + e.

Возможны и иные модели, нелинейные по объясняющим переменным. Например, .

Уравнения, в которые входят x ^1/2, применялись в исследованиях урожайности, трудоемкости сельскохозяйственного производства. Уравнения такого рода легко линеаризуются путем замены x ^1/2 на z. Некоторые исследователи отмечают, что если нет каких-либо теоретических обоснований в использовании кривых данного вида, то основная цель подобных преобразований состоит в том, чтобы для преобразованных переменных получить более простую модель регрессии.