Коэффициент эластичности

Среди нелинейных функций, которые могут быть приведены к линейному виду, в эконометрических исследованиях очень широко используется степенная функция

y = a × x^b × e

Это связано с тем, что параметр b в ней имеет четкое экономическое истолкование, т.е. является коэффициентом эластичности. Это значит, что величина коэффициента b показывает, на сколько процентов изменится в среднем результат, если фактор изменится на 1 %. Так, если зависимость спроса от цен характеризуется уравнением вида y_p= 105,56 × x ^–1,12, то, следовательно, с увеличением цен на 1 % спрос снижается в среднем на 1,12 %. О правомерности такого истолкования параметра b для степенной функции y_x = a × x^b можно судить, если рассмотреть формулу расчета коэффициента эластичности

,

где f’(x) – первая производная, характеризующая соотношение приростов результата и фактора для соответствующей формы связи.

Для степенной функции она составит f’ (x) = a × b × x^{b –1}. Соответственно коэффициент эластичности равен:

.

Коэффициент эластичности, естественно, можно определять и при наличии других форм связи, но только для степенной функции он представляет собой постоянную величину, равную параметру b. В других функциях коэффициент эластичности зависит от значений фактора x. Так, для линейной регрессии первая производная y_x = a + b × x функции и эластичность следующие:

и .

В силу того, что коэффициент эластичности для линейной функции не является величиной постоянной, а зависит от соответствующего значения x, обычно рассчитывается средний показатель эластичности по формуле

.

В виде степенной функции изучается не только эластичность спроса, но и предложения. При этом обычно эластичность спроса характеризуется параметром b < 0, а эластичность предложения b > 0.

Так как коэффициенты эластичности представляют экономический интерес, а виды моделей не ограничиваются только степенной функцией, приведем формулы расчета коэффициентов эластичности для наиболее распространенных типов уравнений регрессии.

Коэффициенты эластичности для ряда математических функций

Функция, y	Первая производная, yx’	Коэффициент эластичности, Э = yx’× x/y
Линейная у=a+b×х+e	b
Парабола второго порядка у=a+b×х+c×x2+e	b+2×c×x
Гипербола у=a+b/х+e	–b/x2
Показательная y=a×bx×e	ln b×a×bx
Степенная y=a×xb×e	a×bx×xb–1
Полулогарифмическая у=a+b×ln х+e	b/x
Логистическая
Обратная y =1/(a+b×х+e)	–b/(a+b×x)2

Несмотря на широкое использование в эконометрике коэффициентов эластичности, возможны случаи, когда их расчет не имеет экономического смысла. Это происходит тогда, когда для рассматриваемых признаков бессмысленно определять изменения значений в процентах. Например, на сколько процентов изменится заработная плата с ростом стажа работы на 1%? Или, например, на сколько процентов изменится урожайность пшеницы, если качество почвы, измеряемое в баллах, изменится на 1%? В такой ситуации степенная функция, даже если она оказывается наилучшей по формальным соображениям (исходя из наименьшего значения остаточной вариации), не может быть экономически интерпретирована. Например, изучая соотношение ставок межбанковского кредита у (в процентах годовых) и срока его предоставления x (в днях), было получено уравнение регрессии = 11,684 × х ^0,352с очень высоким показателем корреляции (0,9895). Коэффициент эластичности 0,352 % лишен смысла, ибо срок предоставления кредита не измеряется в процентах. Значительно больший интерес для этой зависимости может представить линейная функция = 21,1 + 0,403 × x, имеющая более низкий показатель корреляции 0,85. Коэффициент регрессии 0,403 показывает (в процентных пунктах) изменение ставок кредита с увеличением срока его предоставления на один день.