Пример. Равносоединение и естественное соединение отношений S и SP

Декартово произведение отношений S и SP

S TIMES (SP RENAME S# As SPS#)

S#	SNAME	STATUS	CITY	SPS#	P#	QTY
S1	Smith		London	S1	P1
S1	Smith		London	S1	P2
S1	Smith		London	S1	P3
S1	Smith		London	S2	P1
S1	Smith		London	S2	P2
S1	Smith		London	S3	P2
S2	Jones		Paris	S1	P1
S2	Jones		Paris	S1	P2
S2	Jones		Paris	S1	P3
S2	Jones		Paris	S2	P1
S2	Jones		Paris	S2	P2
S2	Jones		Paris	S3	P2
S3	Black		Paris	S1	P1
S3	Black		Paris	S1	P2
S3	Black		Paris	S1	P3
S3	Black		Paris	S2	P1
S3	Black		Paris	S2	P2
S3	Black		Paris	S3	P2

Таблица 1.

Равносоединение отношений S и SP

(S TIMES (SP RENAME S# As SPS#)) WHERE S# = SPS#

S#	SNAME	STATUS	CITY	SPS#	P#	QTY
S1	Smith		London	S1	P1
S1	Smith		London	S1	P2
S1	Smith		London	S1	P3
S2	Jones		Paris	S2	P1
S2	Jones		Paris	S2	P2
S3	Black		Paris	S3	P2

Таблица 2.

Естественное соединение отношений S и SP

Если в этом отношении (Таблица 2.) опустить один атрибут, например SPS#, то получим естественное соединение.

((S TIMES (SP RENAME S# As SPS#)) WHERE S# = SPS#){All BUT SPS#} (А)

S#	SNAME	STATUS	CITY	P#	QTY
S1	Smith		London	P1
S1	Smith		London	P2
S1	Smith		London	P3
S2	Jones		Paris	P1
S2	Jones		Paris	P2
S3	Black		Paris	P2

Таблица 3.

Выражение (А) эквивалентно выражению S JOIN SP

Получить всю информацию о поставщиках и поставках деталей ‘P2’

(S JOIN SP) WHERE P = ‘P2’ (В)

S#	SNAME	STATUS	CITY	P#	QTY
S1	Smith		London	P2
S2	Jones		Paris	P2
S3	Black		Paris	P2

((S JOIN SP) WHERE P = ‘P2’){SNAME} (С)

SNAME

Smith

Jones

Black

Последнее выражение определяет имена поставщиков детали ‘Р2’. Первым выполняется естественное соединение S и SP по общему атрибуту S#. Затем в результате соединения выбираются кортежи, в которых P# = ‘P2’, и далее выполняется проекция по атрибуту SNAME полученной выборки.

Предыдущее выражение можно преобразовать в логически эквивалентное и более рациональное выражение следующего вида

((SP WHERE P# = ‘P2’) JOIN S){SNAME} (D)

Реляционная алгебра может служить хорошим основанием для оптимизации.

Пример естественного соединения

C D

X	Y		Y	Z
A1	B1		B1	C1
A2	B1		B2	C1
A3	B2		B3	C2

C JOIN D

X	Y	Z
A1	B1	C1
A2	B2	C1
A3	B2	C1

Деление. Пусть отношения С и D имеют заголовки {X1, X2, …, XM} {Y1, Y2, …, YN} соответственно. Заголовки не пересекаются. Пусть имеется отношение Я с заголовком {X1, X2, …, XM, Y1, Y2,…, YN}. Результат деления отношения С на D по отношению Z (C DIVIPEBY D PER Z, где С - делимое, D - делитель, Z - отношение-посредник) называется отношение, содержащее такие значения Х из отношения С, для которых соответствующие значения Y из Z включают все значения Y из D.