2014-02-02
2157
Раздел 2. Построение моделей.
Подходы к построению моделей.
Под построением моделей будем понимать построение математических моделей, т. е. моделей, представленных в виде математических зависимостей, связывающих входные и выходные переменные объекта-оригинала. При этом будем предполагать, что в оригинале имеет место причинно – следственная связь, которая имеет однонаправленный характер, т. е. изменение причины (входных переменных) всегда приводит к изменению следствия (выходных переменных).
В общем виде эту связь будем представлять:
(4)
где y – вектор выходных переменных;
– вектор входных переменных;
t – время;
Ф – оператор связи.
В дальнейшем под вектором будем понимать совокупность каких-либо элементов имеющих одно или несколько общих свойств.
(5)
где n- число выходных воздействий или размерность вектора y.
Зависимость в таком виде будем называть детерминированной, т.е. между y,, t существует взаимнооднозначное соответствие (это когда одному значению аргумента соответствует одно значение функции).
|
|
|
Если учитывать, что любая модель отображает не все, а лишь часть причинно – следственных связей оригинала, то модель в общем виде будем записывать так:
(6)
где ˆ - не действительное значение, а оценки соответствующих величин и операторов.
В данной записи e означает эффекты влияния прочих факторов, которые данной моделью не учитываются; сюда входят, в том числе и ошибки измерений входных и выходных переменных.
Такую модель будем называть моделью с учетом неопределенности. Часто её называют статистической или стохастической. Это означает, что результат расчета не соответствует абсолютно точно действительному значению выходной переменной y, а лежит в определенной области (y ± e).
Существуют следующие подходы к построению моделей:
1. Подход на базе (основе) фундаментальных законов естественных наук, накопленных до настоящего времени в физике, химии, биологии и др. Например: законы о термодинамики, механики, электротехники и т.д.
Как правило, такого рода модели строятся в детерминированной постановке, без учета каких-либо неопределенностей. Эти модели известны для каждых конкретных объектов в соответствующих дисциплинах. Поэтому в данном курсе построение таких моделей мы рассматривать не будем. Однако отметим их особенности и область эффективного применения:
а) модели, построенные на основе этого подхода, будем называть моделями внутреннего механизма процессов, протекающих в объекте – оригинале или моделью «в большом»; понимая, что это есть модель, отражающая свойства и условия функционирования объекта – оригинала в большом диапазоне изменения его входных и выходных переменных.
|
|
|
Такие модели достаточно подробно отражают основные стадии преобразования энергии вещества исследуемого процесса;
б) как правило, для процессов и явлений, протекающих с преобразованием энергии и вещества, агрегатных превращений, такие модели сложны по своей структуре, часто содержат нелинейные операторы (преобразования).
Динамические модели, т. е. модели, отражающие изменение выходных и входных переменных во времени, зачастую записывают в виде системы уравнений в частных производных. Они могут содержать некорректные математические операции, под которыми будем понимать такие математические выражения, в которых малые ошибки, содержащиеся в исходных данных, преобразуются в очень большие ошибки результатов расчета;
в) для таких моделей нецелесообразно использовать для расчета оперативно поступающие из действующих систем контроля данные;
г) такие модели содержат большое число настраиваемых параметров (коэффициентов), которые необходимо уточнять (определять) для каждого конкретного агрегата, процесса, явления;
д) такие модели сложны и при их использовании, что раньше было большой проблемой.
Таким образом, модели внутреннего механизма должны использовать данные, которые не содержат в себе ошибки. Поэтому при использовании для таких моделей оперативных данных из действующих систем необходимо предварительно эти данные обрабатывать с целью выделения полезной составляющей, уменьшения уровня различного рода ошибок.
Модели внутреннего механизма, как правило, используют в задачах оптимизации, связанных с нахождением оптимальных в заданном смысле технологических режимов, совершенствования технологических процессов, конструкций агрегатов и т. п. Но их мало используют в задачах управления и регулирования.
2. Идентификационный подход. Этот подход к построению математических моделей связан с получением и обработкой экспериментальных данных.
Идентификация – процесс построения математической модели путем получения и обработки экспериментальных данных.
В отличие от первого подхода полученные здесь математические модели называются кибернетическими или функциональными (модели в малом диапазоне изменений входных и выходных воздействий). Эти модели, в отличие от моделей внутреннего механизма, отражают лишь причинно – следственные связи натурного объекта. Другими словами, показывают влияние изменений входных () на изменения выходные (y) воздействий.
| натурный объект |
Рис. 4
Такие модели не отражают сущность процессов или явлений, протекающих внутри объекта, а отражают только внешнюю связь между изменениями входных и выходных воздействий.
Кибернетика – наука об управлении (Норберт Винер).
Кибернетические модели в большей части используются в задачах управления.
Процесс идентификации состоит из двух основных этапов.
1. Получение данных.
2. Обработка данных.
Получение данных.
Различают 3 способа получения экспериментальных данных
1. Пассивный (регистрационный) эксперимент.
2. Активный эксперимент.
3. Комбинированный эксперимент.
1. Наиболее просто и с меньшими затратами можно организовать регистрационный эксперимент, т.е. такой эксперимент, когда исследователь приходит на объект исследования и с помощью действующей системы контроля регистрирует необходимые ему данные об изменениях входных и выходных воздействий. Такой эксперимент ещё называют пассивным, поскольку исследователь не вмешивается в работу объекта.
Однако такой способ получения данных нельзя рекомендовать для управляемых объектов, т. е. объектов, являющихся частью систем управления. В этом случае данные пассивного эксперимента в подавляющем большинстве случаев не позволяют получить математическую модель с требуемой точностью. Значение искомых коэффициентов получаются смещенными и могут даже иметь обратный знак по отношению к действительным их значениям, отражающим реально существующие причинно – следственные связи. Причина здесь заключается в том, что методы обработки данных ориентированы на разомкнутый объект исследования, т. е. объект, в котором существует только однонаправленная причинно – следственная связь (см. рис. 1). В тоже время, например, все промышленные объекты являются управляемыми, функционирующими в составе систем управления, в частности, следующей структуры
|
|
|
| ОУ |
yVH – эффективность неучтенных факторов.
| W |
| УС |
| У* |
| _-__ |
| + |
| Рис. 5 |
На рис. 5 приведена одна из структур системы управления по отклонению, которая работает следующим образом. Объект управления (ОУ) охвачен отрицательной обратной связью, в цепи которой включена управляющая система (УС). Целью функционирования такой системы является поддержание таких значений выходных воздействий (y), которые соответствовали бы минимуму, например, следующего показателя:
Q = ||y* - y|| => min (7)
где y* - заданное значение выходных воздействий у. В частности у* может быть постоянным.
||…|| - мера близости.
Управляющая система (УС) в каждый текущий момент времени сравнивает фактическое значение выходного воздействия у с его заданным y*, определяя δу = у* - у. В соответствии с этой разностью управляющая система вырабатывает управляющие воздействия u = ƒр (δy), где ƒр – закон управления. Причем управляющие воздействия реализуются на объекте таким образом, что их эффекты влияния на выходное воздействие
δyu = φu (δu) ≈ - δy.
Такая связь называется обратной, потому что наряду с прямой причинно – следственной связью в ОУ, в системе существует и обратная связь u = ƒр (δy).
Необходимость организации такой системы управления объясняется наличием постоянно действующих со стороны окружающей среды внешних воздействий w, изменение которых часто называют возмущающим воздействием или возмущением.
|
|
|
= {u, w}, т. е. множество входных воздействий состоит из двух типов воздействий: управляющих (u), которые вырабатываются внутри системы и являются целенаправленными воздействиями.
В нашей системе эти управляющие воздействия направлены на минимизацию δy; w – множество внешних воздействий со стороны окружающей среды, колебания которых во времени в среднем своем эффекте препятствуют достижению поставленной цели.
Недостаток пассивного эксперимента в основном связан с различием этих двух структур (рис.4, рис. 5), он применим для разомкнутых систем(рис.4), но не применим для управляемых объектов. Следует помнить, что промышленные объекты всегда являются частью систем управления, т.е. всегда управляемы.
Предположим, что в самом простом случае (8). При обработке экспериментальных данных (как это мы рассмотрим далее) наиболее часто применяют метод наименьших квадратов (МНК). Мера линейной статистической связи между двумя величинами y и v отражается с помощью коэффициента корреляции:
(9)
где корреляционный момент, отражающий одновременно статическую линейную связь между величинами и y и степень разброса величин и y относительно их среднего уровня;
и - среднеквадратические отклонения случайных величин и y относительно среднего уровня, т.е.
(10)
(11)
(12)
где mv и m - математическое ожидание случайных величин x и y, его практическим аналогом является среднее арифметическое;
Dv и D - дисперсия случайной величины и y.
Дисперсия является мерой разброса случайной величины относительно ее среднего значения.
Согласно этому методу, оценка коэффициента а соответствует выражению:
(13)
(14)
n – число экспериментальных данных.
(15)
Из – за наличия w выражение (8) мы обязаны записывать:
(16)
ε – эффекты влияний внешних воздействий со стороны окружающей среды, не учитываемые моделью (8).
Если применить МНК к выражению (16), оценка коэффициента а будет иметь вид:
(17)
Корреляционный момент является одновременно мерой разброса и связи данных.
Сравним выражения (13) и (17). Они совпадают при выполнении следующего условия:
(18)
– характеризует статистическую линейную связь между ε и. Чем больше статистическая связь, тем больше эта величина. Ее нормированная величина относительно среднеквадратических отклонений по ε и называется коэффициентом корреляции, значение которого меняется от +1 до -1. 1 – означает детерминированную связь; 0 – отсутствие связи.
Если это условие не выполняется, то согласно формуле (17) оценка â будет очень сильно заниженной, вплоть до того, что может сменить знак на обратный.
2. Активный эксперимент. В отличие от регистрационного, активный эксперимент предполагает нанесение специальных воздействий исследовательского характера с целью получения таких экспериментальных данных, которые позволяют получить хорошие (несмещенные) оценки значений коэффициентов выбранной структуры. Другими словами, эти воздействия должны быть такими, чтобы выполнялось следующее условие:
(19)
где тождественно и называется ковариацией или корреляционным моментом. Требования равенства нулю этой характеристики означает, что необходимо так изменять учитываемые факторы, чтобы они были независимыми по отношению к эффектам неучитываемых факторов ε.
Существует специальный подход в теории оптимизации, который основан на методах планирования экстремальных экспериментов. В этом случае входные воздействия изменяются по специальному плану эксперимента в соответствие с матрицей планирования. Эта матрица должна быть ортогональной, и в этом случае отмеченное условие автоматически выполняется. Такой подход предполагает также возможность у исследователя управлять входными воздействиями, т. е. изменять их в соответствие с разработанным заранее планом эксперимента. В то же время, если объект является управляемым, то для реализации этих воздействий необходимо размыкать, т. е. убирать обратные управляющие связи. В противном случае эти связи будут компенсировать исследовательские воздействия, и искажать последующую (после обработки данных) оценку коэффициентов.
Устранение управляющих связей (размыкание объекта) неизбежно приведет к ухудшению качества работы системы; поэтому в промышленных условиях планирование эксперимента применяется редко. Его рекомендуется использовать в лабораторных или полупромышленных исследованиях.
Следовательно, можно сделать вывод о том, что активный эксперимент позволяет решать задачу идентификации. Это его достоинство.
В то же время он имеет большой недостаток: существенно снижает эффективность работы системы.
3. Поэтому в инженерной практике рекомендуется использовать комбинированный способ получения данных, сочетая активный и пассивный эксперименты. Это делается для того, чтобы уменьшить потери в системе – с одной стороны, а с другой стороны – получить хорошие результаты идентификации.
Обработка данных.
Будем считать, что необходимые для идентификации экспериментальные данные уже получены и представлены в виде таблицы.
| nэкс | 1 | 2 | … | м | |
| … | |||||
| N |
При обработке экспериментальных данных выделяют следующие основные этапы:
1) Выбор структуры модели.
2) Нахождение значений (оценивание) коэффициентов выбранной структуры.
3) Установление соответствий между модельными и экспериментальными данными.
Задачу №1 иногда называют задачей структурного синтеза, а №2 – задачей параметрического синтеза. Когда решают обе эти задачи, то говорят об идентификации в широком смысле; когда рассматривается только одна задача №2, говорят о параметрической идентификации.
1. Выбор структуры модели.
Рассмотрим эту задачу на примере статических моделей, т. е. задачу получения таких математических выражений, которые не учитывают динамику процесса, а находят зависимости между входными и выходными воздействиями без учета времени. Например, в установившемся состоянии объекта. Здесь чаще всего используют полиномиальные структуры объекта, т. е. выражение вида:
(20)
где – учитываемые входные воздействия, число которых равно М;
аi, bi, ci – коэффициенты (параметры модели);
к – максимальная степень полинома.
Такая структура модели называется линейно-параметрической.
Следует отметить, что задача структурного синтеза модели, т. е. задача выбора структуры модели является неформализованной задачей. Это означает, что не существует универсальных методов, способов, алгоритмов её решения. Она решается исследователем на основе его квалификации, опыта, интуиции… Поэтому для выбора структуры модели можно рекомендовать лишь некоторые инженерные приемы, сформированные путем обобщения опыта исследователя.
Можно использовать следующие приемы.
1. Упрощение модели внутреннего механизма процесса, если объект достаточно хорошо изучен и такая модель разработана. При этом возникает вопрос: «Зачем нужна упрощенная модель, если объект хорошо изучен, и модель его внутреннего механизма известна?». Обычно под этим понимается, что известна структура модели. Частично значения параметров такой структуры могут быть определены теоретически. Однако часть параметров и, как правило, часть является неизвестной, и значения этих параметров определяют по экспериментальным данным, т. е. все равно требуется решить задачу параметрической идентификации.
Применить известные методы обработки данных (например, МНК) возможно лишь при определенных условиях. В частности, для МНК структура модели должна быть линейно – параметрической, т. е. линейной по отношению к её параметрам (коэффициентам). В то же время модели внутренних механизмов могут быть нелинейными, для которых МНК неприменим. Поэтому нелинейные модели упрощают; например, разлагая их в ряд Тейлора, и, ограничивая небольшой степенью полинома.
2. Анализ корреляционных полей экспериментальных данных.
| у |
| j = 1 |
| Рис. 6 |
| у |
| j = 3 |
| Рис. 8 |
| j = 2 |
| Рис. 7 |
| у |
Под корреляционным полем понимается графическое отображение в координатной сетке у – экспериментальных данных, отображающих изменение у и. Примеры таких полей представлены выше на рисунках 6-8. Визуальный анализ каждого корреляционного поля позволяет определять примерно структуру связи между у и.
В частности из анализа рис. 6 видно, что зависимость линейная, поэтому такой фактор следует включать в уравнение только в первой степени.
Из анализа рис. 7 связь между у и можно отобразить полиномом второй степени, т. е. необходимо включать в уравнение и в первой и во второй степени.
Из анализа рис. 8 видно, что связь между у и отсутствует.
| О. И. |
| у |
| Рис. 9 |
Таким образом, если объект исследования характеризуется схемой на рис. 9, то из результатов анализа рис. 6-8 можно записать:
(21)
Иногда визуальный анализ корреляционного поля может быть затруднителен из-за большого разброса данных. В этом случае целесообразно для уточнения структуры зависимости определять эмпирическую линию регрессии.
| j |
| эмпирическая линия регрессии |
| у |
| j max |
| j min |
| Рис. 10 |
Для этого весь диапазон изменения аргумента: разбивается на ряд интервалов, для каждого интервала определяется уср и ставится посредине интервала (см. рис. 10).
3) С помощью экспертных оценок. Методы экспертных оценок широко используются для оценки очень многих факторов, таких как – рейтинг политических деятелей, партий среди населения. В том числе он используется и в задачах идентификации как при выборе структуры зависимостей, так и при оценивании параметров выбранной структуры. Его рекомендуется использовать в тех случаях (в нашей задаче), когда отсутствует модель внутреннего механизма процесса, а также когда невозможно или очень сложно, дорого получить экспериментальные данные.
Существует специально разработанная теория экспертного оценивания и для задач построения модели. Например, в книге профессора А. С. Рыкова «Методы системного анализа: многокритериальная и нечеткая оптимизация, моделирование и экспертные оценки» (Москва, Экономика, 1999 г., с. 191) излагается подход к применению экспертных оценок в задаче построения математических моделей (гл. 2, стр. 45-100). Согласно А.С. Рыкову: «Методы экспертных оценок представляют собой комплекс логических и математически – статистических методов и процедур, направленных на получение от специалистов информации, необходимой для подготовки и выбора рациональных решений. Сущность метода экспертных оценок заключается в проведении экспертами интуитивно – логического анализа проблемы с количественной и качественной оценками суждений и формальной обработкой результатов».
Процедура экспертного оценивания включает следующие основные этапы.
1. Составление плана руководящего документа, в котором формулируется цель работы и основные положения по ее выполнению.
2. Определяется структура экспертизы и осуществляется отбор экспертной группы. Здесь определяется перечень экспертов – специалистов, связанных с решением сформулированной задачи; определяется предварительный список экспертов, и получается их согласие на участие в работе.
3. Разработка организации и методики проведения опроса эксперта. При этом большое значение имеют: место и время проведения экспертизы, форма и содержание вопроса, порядок сбора и регистрации результатов, форма представления результатов опроса.
4. Выбор методики обработки данных опроса, где определяются процедуры и алгоритмы обработки, средства и сроки проведения обработки.
5. В процессе непосредственного проведения опроса экспертов и обработки результатов осуществляется корректировка плана экспертного оценивания, в том числе и состав экспертов.
6. Представление результатов опроса.
Основным моментом проведения экспертного оценивания является выбор группы экспертов, имеющих высокую компетентность и высокий уровень знаний в области исследования.
Большое значение так же имеет правильно сформулированный вопрос.
2. Оценивание параметров модели выбранной структуры.
Для оценивания параметров статических моделей и проверки их адекватности наибольшее распространение получили 2 метода:
1) регрессионный анализ;
2) корреляционный анализ.
Оба этих метода включают как задачу параметрического оценивания, связанную с нахождением значений коэффициентов модели выбранной структуры, так и определение соответствий этих моделей и экспериментальных данных. В качестве процедуры параметрического оценивания оба этих метода используют МНК. Но проверка соответствий модельных и экспериментальных данных в этих методах осуществляется различно. Эти различия вызваны тем, что области их применения различны. Это очень важно, т. к. во многих публикациях, в том числе и в учебной литературе, практически не объясняются различия между этими двумя способами. Их часто не различают, иногда называя корреляционно-регрессионным анализом, что методически неверно.
Эти 2 метода следует различать по области их применения. Регрессионный анализ рекомендуется использовать для отображения причинно-следственных связей, а корреляционный для равнозначных в смысле причинно-следственных связей воздействий.
| у2 |
| у1 |
| 1 |
| 2 |
| О.И. |
(22)
(23)
(22) и (23) – зависимости, отражающие причинно-следственные связи объекта – оригинала.
Мы можем записать след. образом
у1 = φ1 (у2) (24)
у2 = φ2 (у1) (25)
В свою очередь зависимости (24) и (25) отражают взаимосвязь между одинаковыми в смысле причинно-следственных связей воздействиями. Эта связь в реальном объекте не является причинно-следственной; ее называют косвенной, опосредованной, т.к. она обусловлена одновременным влиянием входных воздействий на выходные воздействия. Причем эта связь не является однонаправленной и можно находить зависимости, как в виде (24), так и (25), так как здесь нет ни причин ни следствий. В то время как зависимость не имеет физического смысла. Практически зависимость вида (24) и (25) могут применяться при косвенных измерениях, когда один из факторов, например, доступен для измерения с высокой точностью, а измерить сложно или с большими затратами. В этом случае ставят эксперимент, оценивают зависимость вида (24) и расчетным путем зная,, оценивают. Такой способ называется косвенным измерением.
Это вычислительная процедура, используемая как в регрессионном, так и в корреляционном анализах, для определения значений коэффициентов заданной структуры модели. При этом структура модели должна быть линейно – параметрической.
Линейная зависимость – это такая зависимость, которая удовлетворяет принципу суперпозиции, которой можно применительно к модели объекта сформулировать следующим образом: принцип суперпозиции выполняется, если реакция модели объекта на суммарное входное воздействие (переменных) равна сумме реакций модели на отдельные составляющие этого входного воздействия.
| М. О. |
| у |
Рис.12
у = φ { }
= 1 + 2; у1 = φ { 1}; у2 = φ { 2}.
φ () = φ{ 1} + φ{ 2}
у = ао + а1 (26)
Выражение (26) – является линейной зависимостью не только по отношению к переменной, но и к параметрам а1 и ао.
Зависимость, которая является линейной по отношению к параметрам, называют линейно – параметрической.
εх: у = ао + а1 + а2 ² (27)
Функция (27) является нелинейной к, но линейной к параметрам а0, а1, а2.
В общем виде линейно – параметрическим является степнной полином:
К зависимостям другой структуры, например: у =Аsin B (28);
(29) метод наименьших квадратов не применим.
Для того чтобы найти значения коэффициентов для таких структур используется 2 способа.
1. Найти соответствующее преобразование с тем, чтобы привести её к линейно – параметрическому виду и затем использовать МНК.
2. Использовать другие методы определения параметров модели, если такое преобразование не находится. В частности можно использовать поисковые процедуры оптимизации. Либо разложить в ряд Тейлора и ограничиться конечным числом его составляющих.
При этом в первом случае мы используем результаты аналитического решения для определения параметров, а во втором – приближенный метод решения.
С помощью МНК находят наилучшие оптимальные оценки параметров линейно – параметрической структуры в смысле среднеквадратичного критерия близости расчетных и экспериментальных данных. Другими словами, МНК есть результат решения оптимизационной задачи, когда модель имеет линейно – параметрическую структуру, а среднеквадратичный критерий представлен в виде:
(30)
В выражение (30) вместо записывается в общем виде линейно- параметрическая структура модели (для простоты ограничимся полиномом порядка).
(31)
Для того, чтобы решить ур. (31) для параметров и, необходимо взять производные от остаточной дисперсии по параметрам и и приравнять их к 0. Получим следующую систему уравнений.
Такой вывод справедлив, если выполняются все предпосылки МНК. Перечислим их: 1) критерий точности модели является среднеквадратическим; 2) структура модели должна быть линейно параметрической, т.е. линейной относительно ее параметров; 3) учитываемые факторы (входные переменные) должны быть независимы друг от друга, т.е. корреляционный момент между ними должен быть равен 0; 4) входные переменные должны измеряться без ошибок и должны быть управляемыми, т.е. принимать любые значения, установленные исследователем; 5) выходная зависимая переменная может иметь ошибку реализации и эта ошибка должна быть хорошо описанной нормальным законом распределения вероятности; 6) эффекты влияния прочих (неучитываемых) моделью факторов; так же можно представить в виде случайной величины с нормальным законом распределения вероятности; 7) учитываемые факторы и эффект неучитываемых факторов должны быть независимыми, т.е., где - входные переменные; эффект влияния прочих факторов.
Нарушение этих условий будет приводить к уменьшению эффективности модели к увеличению ошибки модели. Не все эти отмеченные условия одинаково влияют на точность модели. Наиболее сильные нарушения (часто выражающиеся на практике связаны с 7 предположением), когда используются данные при построении модели объекта управления.
| υi |
| υ |
Рис.13
С помощью МНК находят такие значения коэффициентов, при которых зависимость выбранной структуры (её кривая) так располагается среди поля экспериментальных точек, что сумма среднеквадратичных отклонений δyi² является минимальной, и при любом другом положении этой кривой среднеквадратичное значение ошибки будет возрастать.
Одним из видов математической модели, применяемых в инженерной практике моделирования, является пересчетная математическая модель. Она используется в так называемых натурно – модельных блоках, которые представляют собой композицию натурных и математических составляющих.
Натурно – модельный блок представляет собой натурно – математическую модель оригинала, например, действующего объекта или системы управления в целом. При этом натурная часть представлена в виде информационного отображения оригинала. Под информационным отображением натурного объекта и системы управления будем понимать совокупность взаимосвязанных между собой и упорядоченных во времени реализаций входных, выходных воздействий и переменных состояния, зафиксированных в действующей системе контроля.
Пример:
| И. О. (О.У.) |
| У. С. |
Рис.14
Если исследуемый объект является частью системы управления (объектом управления), то его входные воздействия V представляются состоящими из двух принципиально различных классов выходных воздействий В свою очередь
U(t) – управляющие воздействия, вырабатываемые в управляющей системе У.С. с целью реализации заданной траектории Y*(t).
W (t) – контролируемые внешние воздействия, которые отражают известное взаимодействие объекта с окружающей средой.
Y(t) – выходные воздействия объекта и системы управления. Они характеризуют реакцию объекта на изменение входных (управляющих (U(t)) и внешних (контролируемых (Wк(t)) и неконтролируемых (Wн(t))) воздействий.
Будем считать, что результаты функционирования действующей системы контроля этого объекта представлены в графической форме:
| Y |
| t |
| t |
| U(t) |
| Y(t) |
| Wк(t) |
Рис.15
W (t), t Є [t0; t1] – реализация W(t) на интервале времени [t0; t1].
W (t), U(t), Y(t) при t Є [t0; t1] – информационное отображение объекта на интервале времени [t0; t1].
Соединение натурных и математических составляющих натурно – модельных блоков осуществляется с помощью специального типа математических моделей, которые называются пересчетными математическими моделями. Рассмотрим структуру такой модели:
| φ {·} |
| Vн(t) |
| Vм(t) |
| - |
| + |
| δV(t) |
| δу(t) |
| Yн(t) |
| Yм(t) |
| + |
| + |
| пересчетная математическая модель |
| алгоритм расчета |
Рис.16
То, что изображено на схеме запишем в общем виде:
Yм (t) = Yн (t) + δy (t)
δy (t) = φ {δV (t)}
δV (t) = Vм (t) - Vн (t)
Vн (t) и Yн (t) – измеренные значения натурных входных и выходных воздействий, полученных с помощью действующей системы контроля. Они и составляют информационное отображение объекта.
В пересчетной модели φ {·} – есть оператор в приращениях. Представляет собой математическую модель, которая связывает приращения (отклонение, вариации) входных воздействий с приращениями выходных воздействий. И этот оператор «работает» и соответственно является работоспособным в небольшом диапазоне отклонений входных и выходных воздействий, и поэтому по своей структуре он существенно проще, чем соответствующие операторы математической модели, адекватные в большем диапазоне изменения этих воздействий.
Таким образом, пересчетная модель отвечает на вопрос: «Что было бы на выходе объекта – оригинала, если бы при прочих равных условиях функционирования его входные воздействия изменились бы в некотором небольшом диапазоне?».
Достоинства пересчетных моделей.
1. Оператор по каналам преобразования отклонений входных воздействий в отклонения выходных по своей структуре является более простым.
2. Для отображения свойств и условий функционирования объекта – оригинала нет необходимости строить математические модели изменения внешних контролируемых воздействий, отображающих взаимодействие объекта с окружающей средой.
3. Выходные воздействия Yн (t) содержат в себе не только эффекты изменений контролируемых, но и эффекты неконтролируемых воздействий
4. Нет необходимости также строить модели измерительных и исполнительных блоков, т. к. ошибки измерения и исполнения команд управления непосредственно содержатся в информационном отображении объекта.
