Исследование теплоемкостей идеального газа

5 6 7 8 9 10 11

Воспользуемся формулами (79),(80).

При известной частной производной

Таким образом,, т.е. c_v ¹ c_v(v), так изохорная теплоёмкость идеального газа от величины объёма не зависит.

Исследуем зависимость изобарной теплоёмкости от величины давления:

(66), таким образом, c_p ¹c_p(p) то есть изобарная теплоемкость от величины давления не зависит.

Исследуем вопрос о зависимости изобарной теплоёмкости от величины объёма:

Представим частную производную как произведение двух частных производных.

, где ¹¥(упругость- величина конечная).

Таким образом,,(c_p ¹c_p(v)).

Исследуем зависимость изохорной теплоёмкости идеального газа от величины давления:

, так как ¹¥(сжимаемость)

(c_v ¹c_v(p)).

2.6.Исследование зависимости изохорной и изобарной теплоёмкостей идеального газа от величины температуры.

Найдем частную производную

Используя уравнение (77) запишем:

Так как частная производная не относится не к одному из типов дифференцирования соотношений термодинамики, а изменить порядок дифференцирования невозможно, таким образом, на вопрос о зависимости изохорной теплоемкости от температуры классическая термодинамика не отвечает.

Зависимость изохорной теплоемкости от температуры определяется либо опытным путем, либо с помощью какой-либо физической теории (например, молекулярно-кинетическая теория газа).

Для изобарной теплоемкости:

Зависимость изобарной теплоемкости от температуры любого газа определяется либо опытным путём, либо с помощью физической теории.

2.7.Зависимость теплоёмкости от температуры. Истинная и средняя теплоёмкости.

Опытные значения теплоёмкостей при различных температурах представляются в виде таблиц, графиков и эмпирических функций.

Различают истинную и среднюю теплоемкости.

Истинная теплоемкость C-это теплоемкость для заданной температуры.

В инженерных расчетах часто используется среднее значение теплоемкости в заданном интервале температур (t1;t2).

Средняя теплоемкость обозначается двояко:,.

Недостаток последнего обозначения является незаданность диапазона температур.

Истинная и средняя теплоемкости связаны соотношением:

(81)

Истинная теплоемкость-это предел, к которому стремится средняя теплоемкость, в заданном диапазоне температур t1…t2, при ∆t=t2-t1

Как показывает опыт, у большинства газов истинные теплоемкости возрастают с ростом температуры. Физическое объяснение этого возрастания заключается в следующем:

Известно, что температура газа не связана колебательным движением атомов и молекул, а зависит от кинетической энергии E_k поступательного движения частиц. Но по мере роста температуры подводимая к газу теплота всё более и более перераспределяется в пользу колебательного движения, т.е. рост температуры при одинаковом подводе теплоты по мере роста температуры замедляется.

Типичная зависимость теплоемкости от температуры:

c=c₀ + at + bt² + dt³ + … (82)

где c₀, a, b, d – эмпирические коэффициенты.

c – Истинная теплоёмкость, т.е. значение теплоёмкости для заданной температуры T.

Для теплоемкости битоппроксимирующей кривой- это полином в виде ряда по степеням t.

Аппроксимирующая кривая проводится с использованием специальных методов, например, методом наименьших квадратов. Суть этого метода в том, что при его использовании все точки примерно равноудалены от аппроксимирующей кривой.

Для инженерных расчётов, как правило, ограничиваются двумя первыми слагаемыми в правой части, т.е. полагают зависимость теплоёмкости от температуры линейной c=c₀ + at (83)

Средняя теплоемкость графически определяется как средняя линия заштрихованной трапеции, как известно средняя линия трапеции определяется как полусумма оснований.

Формулы применяются, если известна эмпирическая зависимость.

В тех случаях, когда зависимость теплоёмкости от температуры не удаётся удовлетворительно аппроксимировать к зависимости c=c₀+at, можно воспользоваться следующей формулой:

(85)

Эта формула применяется в тех случаях, когда зависимость c от t существенно нелинейна.

Из молекулярно-кинетической теории газов известно

U_m = 12,56T, U_m - внутренняя энергия одного киломоля идеального газа.

Ранее было получено для идеального газа:

Из полученного результата следует, что теплоемкость, полученная с использованием МКТ, от температуры не зависит.

Уравнение Майера: c_m_p-c_m_v=R_m,

c_m_p=c_m_v+R_m=12,56+8,314@20,93.

Как и предыдущем случае по МКТ газов молекулярная изобарная теплоемкость от температуры не зависит.

Понятию идеального газа в наибольшей степени соответствуют одноатомные газы при малых давлениях, на практике приходится иметь дело с 2-х, 3-х … атомными газами. Например, воздух, который по объёму состоит из 79% азота (N₂), 21% кислорода (O₂) (в инженерных расчетах инертные газы не учитываются в силу малости их содержания).

Можно для оценочных расчётов пользоваться следующей таблицей: