Расчет интенсивностей потоков в стохастических сетях

Лекция 4

Конечная цель исследования функционирования СМО состоит в нахождении характеристик устройств вычислительной системы и системы в целом. Для проведения такого расчета необходимо знание интенсивностей потоков запросов к отдельным устройствам.

Обозначим интенсивности потоков на входах (n+ 1)-го устройств (подсистем) соответственно λ_1, λ₂,…, λ_n и вероятности переходов р_ij, , . Количество запросов на входе и выходе каждой подсистемы одинаково (рис.1.17). Тогда суммарный поток на входе i -й подсистемы можно определить

P_0i

P_j0

λ_i

λj

P_ji

λj

P_ni

P_jn

Рис.1.17

в виде суммы произведений выходных потоков от всех других подсистем вычислительной системы на соответствующие вероятности передач, т.е.

.

Соответствующая данной записи каноническая форма записи системы алгебраических уравнений (n +1)-го порядка имеет вид

Решение этой системы может выполняться для n неизвестных. Рассматриваем два случая:

а) разомкнутая система (стохастическая сеть); λ₀ известно (задано) и интенсивности потоков могут быть определены.

б) замкнутая система; λ₀ неопределенно; в данном случае осуществляется уменьшение размерности неизвестных путем перехода к представлению системы алгебраических уравнений с использованием коэффициентов передач δ_j и определению в конечном счете этих коэффициентов:

δ_j =.

Значение δ_j характеризует среднее количество обращений на входе подсистемы (устройства), приходящееся на одну входную в систему заявку.

Рассмотрим пример расчета интенсивностей потоков для разомкнутой стохастической системы (см. рис. 1.9). Граф передач имеет представленный на рис.1.19 вид.

Рис.1.18

Рис.1.19

Задано: l₀ = 5 с^-1; P₁₀ = 0,1; P₁₂ = 0,4; P₁₃ = 0,5. Матрица вероятностей передач представлена в приводимой ниже таблице.

Соответствующая система алгебраических уравнений представляется в виде

l₀ P₀₀ + l₁ P₁₀ + l₂ P₂₀ + l₃ P₃₀ = l₀ ;

l₀ P₀₁ + l₁ P₁₁ + l₂ P₂₁ + l₃ P₃₁ = l₁ ;

l₀ P₀₂ + l₁ P₁₂ + l₂ P₂₂ + l₃ P₃₂ = l₂ ;

l₀ P₀₃ + l₁ P₁₃ + l₂ P₂₃ + l₃ P₃₃ = l₃ .

При подстановке значений вероятностей, равных 0 и 1, имеем:

l₁ P₁₀ = l₀ ;

l₀ + l₂ + l₃ = l₁ ;

l₁ P₁₂ = l₂ ;

l₁ P₁₃ + l₂ P₂₃ = l₃.

Решением данной системы являются значения l₁ = 50; l₂ = 20; l₃ = 25.