Определение критической силы

Понятие об устойчивости. Задача Эйлера

Устойчивость сжатых стержней

Вопросы для самопроверки

Кручение с изгибом

Вид нагружения, при котором брус подвергается одновременно действию скручивающих и изгибающих моментов, называется изгибом с кручением.

При расчете воспользуемся принципом независимости действия сил. Определим напряжения по отдельности при изгибе и кручении (рис. 8.8).

При изгибе в поперечном сечении возникают нормальные напряжения, достигающие максимального значения в крайних волокнах

.

При кручении в поперечном сечении возникают касательные напряжения, достигающие наибольшего значения в точках сечения у поверхности вала

x

z

y

M

T

Рис. 8.8

.

Нормальные и касательные напряжения одновременно достигают наибольшего значения в точках С и В сечения вала (рис. 8.9). Рассмотрим напряженное состояние в точке С (рис. 8.10). Видно, что элементарный параллелепипед, выделенный вокруг точки С, находится при плоском напряженном состоянии.

Поэтому для проверки прочности применим одну из гипотез прочности.

Условие прочности по третьей гипотезе прочности (гипотезе наибольших касательных напряжений)

s

t

C

B

x

y

z

Рис. 8.9

s

s

t

t

Рис. 8.10

C

.

Учитывая, что,, получим условие прочности вала

. (8.6)

Если изгиб вала происходит в двух плоскостях, то условие прочности будет

.

Используя четвертую (энергетическую) гипотезу прочности

,

после подстановки s и t получим

. (8.7)

1. Какой изгиб называется косым?

2. Сочетанием каких видов изгиба является косой изгиб?

3. По каким формулам определяются нормальные напряжения в поперечных сечениях балки при косом изгибе?

4. Как находится положение нейтральной оси при косом изгибе?

5. Как определяются опасные точки в сечении при косом изгибе?

6. Как определяются перемещения точек оси балки при косом изгибе?

7. Какой вид сложного сопротивления называется внецентренным растяжением (или сжатием)?

8. По каким формулам определяются нормальные напряжения в поперечных сечениях стержня при внецентренном растяжении и сжатии? Какой вид имеет эпюра этих напряжений?

9. Как определяется положение нейтральной оси при внецентренном растяжении и сжатии? Запишите соответствующие формулы.

10. Какие напряжения возникают в поперечном сечении бруса при изгибе с кручением?

11. Как находятся опасные сечения бруса круглого сечения при изгибе с кручением?

12. Какие точки круглого поперечного сечения являются опасными при изгибе с кручением?

13. Какое напряженное состояние возникает в этих точках?

Из теоретической механики известно, что равновесие абсолютно твердого тела может быть устойчивым (рис. 9.1,а) безразличным (рис. 9.1,б) и неустойчивым (рис 9.1,в и г).

а б в г

Рис. 9.1

Равновесное состояние деформируемой системы, например, стержня также может быть устойчивым (рис. 9.2,а), безразличным (критическим) (рис. 9.2,б) и неустойчивым (рис. 9.2,в).

а б в

Рис. 9.2

Нагрузка, при которой начальная (исходная) форма равновесия стержня перестает быть устойчивой, называется критической и обозначается F_кр.

Приложение к стержню силы

или вызывает его продольный изгиб.

Явление перехода системы от одного равновесного состояния к другому равновесному состоянию, называется потерей устойчивости системы.

В некоторых случаях при потере устойчивости, система, пере­ходя в новое устойчивое равновесное состояние, продолжает вы­полнять свои функции. Однако в подавляющем большинстве случа­ев, потеря устойчивости системы сопровождается возникновением больших перемещений, пластических деформаций или ее полным разрушением. Поэтому сохранение исходного (расчетного) равно­весного состояния системы является важной задачей и одной из основных проблем сопротивления материалов.

Условие устойчивости имеет вид:

где φ – коэффициент снижения допускаемых напряжений,

Величина коэффициента снижения допускаемых напряжений φ зависит от материала и гибкости стержня и сведена в таблицы (сортамент).

Величина называется гибкостью стержня и зависит только от геометрических размеров и способа закрепления стержня.

где i_min - радиус инерции сечения;

,

Fкр

Fкр

Fкр

Fкр

Fкр

m=1

m=2

m=0,7

m=0,5

Критическую силу определяют по формуле Ясинского или по формуле Эйлера.

Для стержней, гибкость которых, потеря устойчивости происходит при напряжениях превышающих предел текучести, поэтому расчет на устойчивость выполняется с помощью эмпирической формулы, предложенной профессором Петербургского института путей сообщения Ф. Ясинским

где а и b – эмпирически найденные для каждого материала коэффициенты (по таблице)

Материал	λпред	а, МПа	b, МПа
Ст.2, Ст.3			1,14
Сталь 45			3,26
Чугун
Дерево		29,3	0,194

Предельная гибкость определяется по формуле:

.

Как видно из формулы, зависит только от свойств материала и для каждого материала ее величина может быть вычислена (табл.9.1).

Для малоуглеродистой стали, имеющей МПа и Е= 2,1× 10⁵ МПа, формулой Эйлера можно пользоваться при гибкости стержня большей, чем

.

Определение допускаемой нагрузки:

Коэффициент запаса на устойчивость определяется по формуле:

Лекция 10

Динамическое действие нагрузок. Усталость

Вопросы лекции: