Напряжения при поперечном изгибе. В случае поперечного изгиба в сечениях балки возникают не только изгибающий момент, но и поперечная сила

В случае поперечного изгиба в сечениях балки возникают не только изгибающий момент, но и поперечная сила. Следовательно, в этом случае в поперечных сечениях бруса возникают не только нормальные, но и касательные напряжения.

Так как касательные напряжения в общем случае распределены по сечению неравномерно, то при поперечном изгибе поперечные сечения балки строго говоря не остаются плоскими. Однако при (где h - высота поперечного сечения, l - длина балки) ока­зывается, что эти искажения заметным образом не сказываются на работе балки на изгиб. В данном случае гипотеза плос­ких сечений и в случае чистого изгиба с достаточной точно­стью приемлема. Поэтому для расчета нормальных напряже­ний s применяют ту же формулу (6.4).

Рассмотрим вывод расчетных формул для касательных напря­жений. Выделим из бруса, испытывающего поперечный изгиб, элемент длиной dх (рис. 6.6, а).

Рис. 6.6

Продольным горизонтальным сечением, проведенным на рас­стоянии z от нейтральной оси, разделим элемент на две части (рис. 6.6, в) и рассмотрим равновесие верхней части, имеющей основание шириной b. При этом с учетом закона парности каса­тельных напряжений, получим, что касательные напряжения в по­перечном сечении равны касательным напряжениям, возникающим в продольных сечениях (рис. 6.6, б). С учетом данного обстоятель­ства и из допущения о том, что касательные напряжения по пло­щади b × dx распределены равномерно, используя условие åx = 0, получим:

N ^* - N ^* - d N ^* + t× b × dx = 0,

откуда

. (6.5)

где N ^* - равнодействующая нормальных сил s× dA в левом попереч­ном сечении

элемента dx в пределах заштрихованной площади A ^* (рис. 6.6, г):

. (6.6)

С учетом (6.4) последнее выражение можно представить в виде

, (6.7)

где - статический момент части поперечного сечения, расположен-

ной выше координаты y (на рис. 5.21,б эта область за­штрихована).

Следовательно, (6.7) можно переписать в виде

,

откуда

. (6.8)

В результате совместного рассмотрения (5.12) и (5.15) получим

,

или окончательно

. (6.9)

Полученная формула (6.9) носит имя русского ученого Д.И. Журавского.

Для исследования напряженного состояния в произвольной точке балки, испытывающей поперечный изгиб, выделим из сос­тава балки вокруг исследуемой точки элементарную призму (рис. 6.6, г), таким образом, чтобы вертикальная площадка явля­лась частью поперечного сечения балки, а наклонная площадка составляла произвольный угол a относительно горизонта. Прини­маем, что выделенный элемент имеет следующие размеры по координатным осям: по продольно оси - dx, т.е. по оси x; по вер­тикальной оси - dz, т.е. по оси z; по оси y - равный ширине балки.

Так как вертикальная площадка выделенного элемента принад­лежит поперечному сечению балки, испытывающему поперечный изгиб, то нормальные напряжения s на этой площадке определя­ются по формуле (6.4), а касательные напряжения t - по формуле Д.И. Журавского (6.9). С учетом закона парности касательных на­пряжений, легко установить, что касательные напряжения на гори­зонтальной площадке также равны t. Нормальные же напряжения на этой площадке равны нулю, согласно уже известной нам гипо­тезе теории изгиба о том, что продольные слои не оказывают дав­ления друг на друга.

Обозначим величины нормальных и касательных напряжений на наклонной площадке через s_a и t_a, соответственно. Принимая площадь наклонной площадки dA, для вертикальной и горизон­тальной площадок будем иметь dA sin a и dA cos a, соответственно.

Составляя уравнения равновесия для элементарной вырезанной призмы (рис. 6.6, г), получим:

,

откуда будем иметь:

;

.

Следовательно, окончательные выражения напряжений на на­клонной площадке принимают вид:

Определим ориентацию площадки, т.е. значение a = a₀ , при котором напряжение s_a принимает экстремальное значение. Со­гласно правилу определения экстремумов функций из математиче­ского анализа, возьмем производную функции s_a от a и прирав­няем ее нулю:

.

Предполагая a = a₀ , получим:

.

Откуда окончательно будем иметь:

.

Согласно последнему выражению, экстремальные напряжения возникают на двух взаимно перпендикулярных площадках, называ­емых главными, а сами напряжения - главными напряже­ниями.

Сопоставляя выражения t_a и, имеем:

,

откуда и следует, что касательные напряжения на главных пло­щадках всегда равны нулю.

В заключение, с учетом известных тригонометрических тож­деств:

и формулы, определим главные напряжения, выражая из через s и t:

.

Полученное выражение имеет важное значение в теории проч­ности изгибаемых элементов, позволяющее производить расчеты их прочности, с учетом сложного напряженного состояния, присущее поперечному изгибу.

Эпюра касательных напряжений показана на рис. 6.5.

Условие прочности по касательным напряжениям будет иметь вид:

где _max- наибольшая по модулю поперечная сила,

- статический момент инерции верхней половины сечения.

При поперечном изгибе в произвольной точке балки (рис. 6.5, т. В) одновременно действуют как нормальные напряжения, так и касательные. Материал балки находится при плоском напряженном состоянии, поэтому для оценки прочности следует воспользоваться теориями прочности, например, третьей.

Эпюра эквивалентных напряжений, построенная для прямоугольного сечения, показана на рис. 6.5.

Для обеспечения прочности балки при совместном действии как нормальных, так и касательных напряжений и использовании третьей теории прочности должно выполняться условие

.