double arrow

Й учебный вопрос. Метод Койка

Рассмотренные выше модели были построены в предположе­нии конечной величины лага l. Предположим теперь, что для описания некоторого процесса используется модель с бесконеч­ным лагом вида:

(7.16)

Очевидно, что параметры такой модели обычным МНК или с помощью иных стандартных статистических методов определить нельзя, поскольку модель включает бесконечное число фактор­ных переменных. Однако, приняв определенные допущения от­носительно структуры лага, оценки ее параметров все же можно получить. Эти допущения состоят в наличии геометрической структуры лага, т. е. такой структуры, когда воздействия лаговых значений фактора на результат уменьшаются с увеличением ве­личины лага в геометрической профессии. На рис. 7.1 геометри­ческой структуре лага соответствует вариант 7.1 б).

Впервые изложенный в этом разделе подход к оценке параме­тров моделей с распределенным лагом типа (7.16) был предложен J1.M. Койком. Койк предположил, что существует некоторый постоянный темп λ (0 < λ < 1) уменьшения во времени лаговых воздействий фактора на результат. Если, например, в период t ре­зультат изменялся под воздействием изменения фактора в этот же период времени на b0 ед., то под воздействием изменения фак­тора, имевшего место в период (t — 1), результат изменится на b0 • λ ед.; в период (t - 2) — на b0 • λ • λ = b0 • λ2 ед., и т. д. Для не­которого периода (t — l) это изменение результата составит b0 • λ l ед. В более общем виде можно записать:

(7.17)

Ограничение на значения > 0 обеспечивает одинаковые зна­ки для всех коэффициентов > 0, а ограничение < 1 означает, что с увеличением лага значения параметров модели (7.16) убы­вают в геометрической профессии. Чем ближе к 0, тем выше темп снижения воздействия фактора на результат во времени и тем большая доля воздействия на результат приходится на теку­щие значения фактора хt. Выразим с помощью (7.17) все коэффициенты bj в модели (7.16) через b0 и :

(7.18)

Тогда для периода (t — 1) модель (7.18) можно записать следу­ющим образом:

(7.19)

Умножим обе части модели (7.19) на :

(7.20)

Вычтем найденное соотношение (7.20) из соотношения (7.18):

Преобразования (7.21) приводят нас к получению модели Койка:

(7.22)

где

Полученная модель есть модель двухфакторной линейной ре­грессии (точнее — авторегрессии). Определив ее параметры, мы найдем и оценки параметров а и b0 исходной модели. Далее с помощью соотношений (7.17) несложно определить параметры b1 b2,... модели (7.16). Отметим, что применение обычного МНК к оценке параметров модели (7.22) приведет к получению сме­щенных оценок ее параметров ввиду наличия в этой модели в ка­честве фактора лаговой результативной переменной .

Описанный выше алгоритм получил название преобразова­ния Койка. Это преобразование позволяет перейти от модели с бесконечными распределенными лагами к модели авторегрес­сии, содержащей две независимые переменные xt и yt-l. Несмотря на бесконечное число лаговых переменных в моде­ли (7.16), геометрическая структура лага позволяет определить величины среднего и медианного лагов в модели Койка. По­скольку сумма коэффициентов регрессии в модели (7.16) есть сумма геометрической профессии, т. е.

то средний лаг определяется как

(7.24)

Нетрудно заметать, что при = 0,5 средний лаг T = 1, а при l < 0,5 средний лаг < 1, т. е. воздействие фактора на результат в среднем занимает менее одного периода времени. Величину (1 — ) интерпретируют обычно как скорость, с которой происхо­дит адаптация результата во времени к изменению факторного признака. Для расчета медианного лага необходимо выполнение следующего условия:

Поэтому медианный лаг в модели Койка равен (Если )

(7.26)


Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:  



Сейчас читают про: