Й учебный вопрос. Общая характеристика и интерпретация параметров моделей

В эконометрике к числу динамических относятся не все моде­ли, построенные по временным рядам данных. Термин «динами­ческий» в данном случае характеризует каждый момент времени t в отдельности, а не весь период, для которого строится модель. Эконометрическая модель является динамической, если в дан­ный момент времени t она учитывает значения входящих в нее переменных, относящиеся как к текущему, так и к предыдущим моментам времени, т. е. если эта модель отражает динамику ис­следуемых переменных в каждый момент времени.

Можно выделить два основных типа динамических эконометрических моделей. К моделям первого типа относятся модели авторегрессии и модели с распределенным лагом, в которых значе­ния переменной, за прошлые периоды времени (лаговые переменные) непосредственно включены в модель. Модели второго типа учитывают динамическую информацию в неявном виде. В эти модели включены переменные, характеризующие ожидае­мый или желаемый уровень результата, или одного из факторов в момент времени t. Этот уровень считается неизвестным и опреде­ляется экономическими единицами с учетом информации, кото­рой они располагают в момент (t — 1).

В зависимости от способа определения ожидаемых значений показателей различают модели неполной корректировки, адап­тивных ожиданий и рациональных ожиданий. Оценка парамет­ров этих моделей сводится к оценке параметров моделей авторе­грессии.

При исследовании экономических процессов нередко прихо­дится моделировать ситуации, когда значение результативного признака в текущий момент времени / формируется под воздей­ствием ряда факторов, действовавших в прошлые моменты вре­мени t — 1, t — 2, t — l. Например, на выручку от реализации или прибыль компании текущего периода могут оказывать влияние расходы на рекламу или проведение маркетинговых исследова­ний, сделанные компанией в предшествующие моменты време­ни. Величину l, характеризующую запаздывание в воздействии фактора на результат, называют в эконометрике, а времен­ные ряды самих факторных переменных, сдвинутые на один или более моментов времени, - лаговыми переменными.

Разработка экономической политики как на макро-, так и на микроуровне требует решения обратного типа задач, т. е. задач, определяющих, какое воздействие окажут значения управляемых переменных текущего периода на будущие значения экономиче­ских показателей. Например, как повлияют инвестиции в про­мышленность на валовую добавленную стоимость этой отрасли экономики будущих периодов или как может измениться объем ВВП, произведенного в периоде (t + 1), под воздействием увели­чения денежной массы в периоде t?

Эконометрическое моделирование охарактеризованных вы­ше процессов осуществляется с применением моделей, содержа­щих не только текущие, но и лаговые значения факторных пере­менных. Эти модели называются моделями с распределенным лагом. Модель вида

(7.1)

является примером модели с распределенным лагом.

Наряду с лаговыми значениями независимых, или факторных, переменных на величину зависимой переменной текущего периода могут оказывать влияние ее значения в прошлые моменты или периоды времени. Например, потребление в момент времени t формируется под воздействием дохода текущего и преды­дущего периодов, а также объема потребления прошлых перио­дов, например потребления в период, (t — 1). Эти процессы обыч­но описывают с помощью моделей регрессии, содержащих в ка­честве факторов лаговые значения зависимой переменной, кото­рые называются моделями авторегрессии. Модель вида

(7.2)

относится к моделям авторегрессии.

Построение моделей с распределенным лагом и моделей ав­торегрессии имеет свою специфику. Во-первых, оценка парамет­ров моделей авторегрессии, а в большинстве случаев и моделей с распределенным лагом не может быть произведена с помощью обычного МНК ввиду нарушения его предпосылок и требует спе­циальных статистических методов. Во-вторых, исследователям приходится решать проблемы выбора оптимальной величины лага и определения его структуры. Наконец, в-третьих, между моделями с распределенным лагом и моделями авторегрессии су­ществует определенная взаимосвязь, и в некоторых случаях необ­ходимо осуществлять переход от одного типа моделей к другому.

Рассмотрим модель с распределенным лагом в ее общем виде в предположении, что максимальная величина лага конечна:

Эта модель говорит о том, что если в некоторый момент вре­мени t происходит изменение независимой переменной x, то это изменение будет влиять на значения переменной у в течение l следующих моментов времени.

Коэффициент регрессии при переменной x_t характеризует среднее абсолютное изменение y_t при изменении x_t на 1 ед. свое­го измерения в некоторый фиксированный момент времени t, без учета воздействия лаговых значений фактора х. Этот коэффици­ент называют краткосрочным мультипликатором.

В момент (t + 1) совокупное воздействие факторной перемен­ной , на результат , составит (b₀ + b₁) усл. ед., в момент (t +2) это воздействие можно охарактеризовать суммой (b₀ + b₁ + b₂) и т. д. Полученные таким образом суммы называют промежуточными мультипликаторами.

С учетом конечной величины лага можно сказать, что изме­нение переменной х_t в момент t на 1 усл. ед. приведет к общему изменению результата через l моментов времени на (b₀ + b₁ +…+ b_l) абсолютных единиц. Введем следующее обозначение:

b₀ + b₁ +…+ b_l =b. (7.4)

Величину b называют долгосрочным мультипликатором. Он по­казывает абсолютное изменение в долгосрочном периоде t + l ре­зультата у под влиянием изменения на 1 ед. фактора х.

Предположимj=0:1 (7.5)

Назовем полученные величины относительными коэффициен­тами модели с распределенным лагом. Если все коэффициенты имеют одинаковые знаки, то для любого j

В этом случае относительные коэффициенты являются ве­сами для соответствующих коэффициентов Каждый из них из­меряет долю общего изменения результативного признака в мо­мент времени (t+j)

Зная величины , с помощью стандартных формул можно определить еще две важные характеристики модели множествен­ной регрессии: величину среднего лага и медианного лага. Сред­ний лаг определяется по формуле средней арифметической взве­шенной:

и представляет собой средний период, в течение которого будет происходить изменение результата под воздействием изменения фактора в момент времени t. Небольшая величина среднего лага свидетельствует об относительно быстром реагировании резуль­тата на изменение фактора, тогда как высокое его значение гово­рит о том, что воздействие фактора на результат будет сказываться в течение длительного периода времени. Медианный лаг — это величина лага, для которого

Это тот период времени, в течение которого с момента време­ни t будет реализована половина общего воздействия фактора на результат.

Изложенные выше приемы анализа параметров модели с рас­пределенным лагом действительны только в предположении, что все коэффициенты при текущем и лаговых значениях исследуе­мого фактора имеют одинаковые знаки. Это предположение вполне оправдано с экономической точки зрения: воздействие одного и того же фактора на результат должно быть однонаправленным независимо от того, с каким временным лагом измеряет­ся сила или теснота связи между этими признаками. Однако на практике получить статистически значимую модель, параметры которой имели бы одинаковые знаки, особенно при большой ве­личине лага l, чрезвычайно сложно.

Применение обычного МНК к таким моделям в большинстве случаев затруднительно по следующим причинам.

Во-первых, текущие и лаговые значения независимой бере­менной, как правило, тесно связаны друг с другом. Тем самым оценка параметров модели проводится в условиях высокой мультиколлинеарности факторов.

Во-вторых, при большой величине лага снижается число на­блюдений, по которому строится модель, и увеличивается число ее факторных признаков. Это ведет к потере числа степеней сво­боды в модели.

В-третьих, в моделях с распределенным лагом часто возни­кает проблема автокорреляции остатков. Вышеуказанные обсто­ятельства приводят к значительной неопределенности относи­тельно оценок параметров модели, снижению их точности и по­лучению неэффективных оценок. Чистое влияние факторов на результат в таких условиях выявить невозможно. Поэтому на практике параметры моделей с распределенным лагом проводят в предположении определенных ограничений на коэффициенты регрессии и в условиях выбранной структуры лага.

Обратимся теперь к модели авторегрессии. Пусть имеется следующая модель:

(7.7)

Как и в модели с распределенным лагом, b ₀ в этой модели ха­рактеризует краткосрочное изменение у, под воздействием изме­нения х_t на 1 ед. Однако промежуточные и долгосрочный мульти­пликаторы в моделях авторегрессии несколько иные. К моменту времени (t + 1) результату изменился под воздействием измене­ния изучаемого фактора в момент времени t на b₀ ед., а y _t+1 под воздействием своего изменения в непосредственно предшеству­ющий момент времени — на с₁ ед: Таким образом, общее абсо­лютное изменение результата в момент (t + 1) составит b₀с₁ ед. Аналогично в момент времени (t +2) абсолютное изменение ре­зультата составит b₀с₁² ед. и т. д. Следовательно, долгосрочный мультипликатор в модели авторегрессии можно рассчитать как сумму краткосрочного и промежуточных мультипликаторов:

7.8)

Учитывая, что практически во все модели авторегрессии вво­дится так называемое условие стабильности, состоящее в том, что коэффициент регрессии при переменной y_t-1 по абсолютной ве­личине меньше единицы |с₁| < 1, соотношение (7.8) можно преоб­разовать следующим образом:

где |с₁| < 1. (7.9)

Отметим, что такая интерпретация коэффициентов модели авторегрессии и расчет долгосрочного мультипликатора основа­ны на предпосылке о наличии бесконечного лага в воздействии текущего значения зависимой переменной на ее будущие зна­чения.