Й учебный вопрос. Моделирование тенденции временного ряда при наличии структурных изменений

Й учебный вопрос. Применение фиктивных переменных для моделирования сезонных колебаний.

Рассмотрим еще один метод моделирования временного ря­да, содержащего сезонные колебания, — построение модели рег­рессии с включением фактора времени и фиктивных переменных. Количество фиктивных переменных в такой модели должно быть на единицу меньше числа моментов (периодов) времени внутри одного цикла колебаний. Например, при моделировании поквартальных данных модель должна включать четыре незави­симые переменные — фактор времени и три фиктивные перемен­ные. Каждая фиктивная переменная отражает сезонную (цикли­ческую) компоненту временного ряда для какого-либо одного периода. Она равна единице для данного периода и нулю для всех остальных периодов.

Пусть имеется временной ряд, содержащий циклические ко­лебания периодичностью k. Модель регрессии с фиктивными пе­ременными для этого ряда будет иметь вид:

(5.12)

Где

Например, при моделировании сезонных колебаний на основе поквартальных данных за несколько лет число кварталов внутри одного года к = 4, а общий вид модели следующий:

(5.13)

Где

Где

Где

Уравнение тренда для каждого квартала будет иметь следую­щий вид:

для I квартала: (5.14)

для II квартала: (5.15)

для III квартала: (5.16)

для IV квартала: (5.17)

Таким образом, фиктивные переменные позволяют дифференцировать величину свободного члена уравнения регрессии для каждого квартала. Она составит:

для I квартала (а+ с₁);

для II квартала (а + с₂);

для III квартала (а + с₃);

д ля IV квартала а.

Параметр b в этой модели характеризует среднее абсолютное изменение уровней ряда под воздействием тенденции. В сущнос­ти, модель (5.13) есть аналог аддитивной модели временного ря­да, поскольку фактический уровень временного ряда есть сумма трендовой, сезонной и случайной компонент.

От сезонных и циклических колебаний следует отличать единовременные изменения характера тенденции временного рада, вы­званные структурными изменениями в экономике или иными факторами. В этом случае, начиная с некоторого момента времени происходит изменение характера динамики изучаемого показателя что приводит к изменению параметров тренда, описывающего эту динамику. Схематично такая ситуация изображена на рис. 5.8.

Момент (период) времени t * сопровождается значительными изменениями ряда факторов, оказывающих сильное воздействие на изучаемый показатель y_t. Чаще всего эти изменения вызваны изменениями в общеэкономической ситуации или факторам (событиями) глобального характера, приведшими к изменению структуры экономики (например, начало крупных экономических реформ, изменение экономического курса, нефтяные кризисы и прочие факторы). Если исследуемый временной ряд включает в себя соответствующий момент (период) времени, то одной из задач его изучения становится выяснение вопроса о том, значимо ли повлияли общие структурные изменения на характер этой тенденции. 3

Если это влияние значимо, то для моделирования тенденции данного временного ряда следует использовать кусочно-линейные модели регрессии, т. е. разделить исходную совокупность на две подсовокупности (до момента времени t * и после момента t *) и построить отдельно по каждой подсовокупности уравнения линейной регрессии (на рис. 5.8 этим уравнениям соответствуют прямые (1) и (2)). Если структурные изменения незначительно повлияли на характер тенденции ряда у_t, то ее можно описать с помощью единого для всей совокупности данных уравнения тренда (на рис. 5.8 этому уравнению соответствует прямая (3)).

Каждый из описанных выше подходов имеет свои положи­тельные и отрицательные стороны. При построении кусочно-линейной модели происходит снижение остаточной суммы квадра­тов по сравнению с единым для всей совокупности уравнением тренда. Однако разделение исходной совокупности на две части ведет к потере числа наблюдений и, следовательно, к снижению числа степеней свободы в каждом уравнении кусочно-линейной модели. Построение единого для всей совокупности уравнения тренда, напротив, позволяет сохранить число наблюдений ис­ходной совокупности, однако остаточная сумма квадратов по этому уравнению будет выше по сравнению с кусочно-линейной моделью. Очевидно, что выбор одной из двух моделей (кусочно-линейной или единого уравнения тренда) будет зависеть от соот­ношения между снижением остаточной дисперсии и потерей числа степеней свободы при переходе от единого уравнения рег­рессии к кусочно-линейной модели.

Формальный статистический тест для оценки этого соотношения был предложен Грегори Чоу. Применение этого теста предполагает расчет параметров уравнений трендов, графики которых изображены на рис. 5.8 прямыми (1), (2) и (3). Введем систему обозначений, приведенную в табл. 5.17.

Выдвинем гипотезу о структурной стабильности тенденции изучаемого временного ряда. *

Остаточную сумму квадратов по кусочно-линейной модели () можно найти как сумму и: (5.18)

Соответствующее ей число степеней свободы составит:

(5.19)

Тогда сокращение остаточной дисперсии при переходе от - единого уравнения тренда к кусочно-линейной модели можно определить следующим образом (B методике расчетов предполагается, что всегда больше, чем).

(5.20)

Число степеней свободы, соответствующее АС^, с учетом со­отношения (5.19) будет равно:

(5.21)

Далее в соответствии с предложенной Г. Чоу методикой опре­деляется фактическое значение F-критерия по следующим дис­персиям на одну степень свободы вариации:

(5.22)

Найденное значение сравнивают с табличным, получен­ным по таблицам распределения Фишера для уровня значимости и числа степеней свободы () и.

Если >, то гипотеза о структурной стабильности тенденции отклоняется, а влияние структурных изменений на динамику изучаемого показателя признают значимым. В этом случае моделирование тенденции временного ряда следует осу­ществлять с помощью кусочно-линейной модели. Если <, то нет оснований отклонять ноль-гипотезу о струк­турной стабильности тенденции. Ее моделирование следует осу­ществлять с помощью единого для всей совокупности уравнения тренда.

Отметим следующие особенности применения теста Чоу:

1. Если число параметров во всех уравнениях (1), (2), (3) (см. рис. 5.8 и табл. 5.17) одинаково и равно k, то формула (5.22) упро­щается:

(5.23)

2. Тест Чоу позволяет сделать вывод о наличии или отсутст­вии структурной стабильности в изучаемом временном ряде. Ес­ли < то это означает, что уравнения (1) и (2) описыва­ют одну и ту же тенденцию, а различия численных оценок их па­раметров соответственно статистически не­значимы. Если же >, то гипотеза о структурной ста­бильности отклоняется, что означает статистическую значимость различий оценок параметров уравнений (1) и (2).

3. Применение теста Чоу предполагает соблюдение предпо­сылок о нормальном распределении остатков в уравнениях (1) и (2) и независимость их распределений.

Если гипотеза о структурной стабильности тенденции ряда у_t, отклоняется, дальнейший анализ может заключаться в исследо­вании вопроса о причинах этих структурных различий и более де­тальном изучении характера изменения тенденции. В принятых нами обозначениях эти причины обуславливают различия оце­нок параметров уравнений (1) и (2). Возможны следующие сочетания изменения численных оценок параметров этих уравнений (рис. 5.9):

изменение численной оценки свободного члена уравнения тренда а₂ по сравнению с я, при условии, что различия между статистически незначимы. Геометрически это означает, что прямые (1) и (2) параллельны (рис. 5.9 а). В данной ситуации можно говорить о скачкообразном изменении уровней ряда у_t, в момент времени t* при неизменном среднем абсолютном приро­сте за период;

изменение численной оценки параметра по сравнению с при условии, что различия между статистически незна­чимы. Геометрически это означает, что прямые (1) и (2) пересе­кают ось ординат в одной точке (рис. 5.9 б). В этом случае изме­нение тенденции связано с изменением среднего абсолютного прироста временного ряда, начиная с момента времени t *, при неизменном начальном уровне ряда в момент времени t = 0;

изменение численных оценок параметров а_х и а₂, а также и Геометрически эта ситуация изображена на рис. 5.9в. Она означает, что изменение характера тенденции сопровождается изменением как начального уровня ряда, так и среднего за пери­од абсолютного прироста.

Один из статистических методов тестирования при примене­нии перечисленных выше ситуаций для характеристики тенден­ции изучаемого временного ряда был предложен американским экономистом Дамодаром Гуйарати. Этот метод основан на включении в модель регрессии фиктивной переменой которая принимает значения 1 для всех t<t* принадлежащие промежут­ку времени до изменения характера тенденции, далее — проме­жутку (1), и 0 значения для всех t<t*, принадлежащие промежут­ку времени после изменения характера тенденции, далее — про­межутку (2). Д. Гуйарати предлагает определять параметры следу­ющего уравнения регрессии:

(5.24)

Таким образом, для каждого промежутка времени получим следующие уравнения:

Промежуток (1) Z = 1;

Промежуток (2) Z = 0;

Сопоставив полученные уравнения с уравнениями (1) и (2), нетрудно заметить, что

(5.25)

.

Параметр есть разница между свободными членами уравне­ний (1) и (2), а параметр d - разница между параметрами и уравнений (1) и (2). Оценка статистической значимости разли­чий и а также и эквивалентна оценке статистической значимости параметров b и d уравнения (5.24). Эту оценку можно провести при помощи t -критерия Стьюдента.

Таким образом, если в уравнении (5.24) b является статисти­чески значимым, a d - нет, то изменение тенденции вызвано только различиями параметров и (рис. 5.9 а). Если в этом уравнении параметр d статистически значим, а — незначим, то изменение характера тенденции вызвано различиями параметров и (рис. 5.9 б). Наконец, если оба коэффициента и dявляют­ся статистически значимыми, то на изменение характера тенден­ции повлияли как различия между а₁ и а₂ так и различия между и (рис. 5.9 в).

Этот метод можно использовать не только в дополнение к те­сту Чоу, но и самостоятельно для проверки гипотезы о структур­ной стабильности тенденции изучаемого временного ряда. Ос­новное его преимущество перед тестом Чоу состоит в том, что нужно построить только одно, а не три уравнения тренда.

Мы рассмотрели простейший случай применения теста Чоу для моделирования линейной тенденции. Однако этот тест (а также модель (5.24) с фиктивной переменной) может использо­ваться (и действительно используется во многих прикладных ис­следованиях) при проверке гипотез о структурной стабильности и в более сложных моделях взаимосвязи двух и более временных рядов.