Автокорреляция уровней временного ряда и выявление его структуры

При наличии во временном ряде тенденции и циклических колебаний значения каждого последующего уровня ряда зависят от предыдущих. Корреляционную зависимость между последова­тельными уровнями временного ряда называют автокорреляцией уровней рада.

Количественно ее можно измерить с помощью линейного коэффициента корреляции между уровнями исходного временного ряда и уровнями этого ряда, сдвинутыми на несколько шагов во времени. Рассмотрим пример.

Пример 5.1. Расчет коэффициентов автокорреляции уровней для временного ряда расходов на конечное потребление.

Пусть имеются следующие условные данные о средних расхо­дах на конечное потребление (у_t, д. е.) за 8 лет (табл. 5.1).

Разумно предположить, что расходы на конечное потребле­ние в текущем году зависят от расходов на конечное потребление предыдущих лет.

Определим коэффициент корреляции между рядами y_t и y_t-₁ и измерим тесноту связи между расходами на конечное потребле­ние текущего и предыдущего годов. Добавим в табл. 5.1 времен­ной ряд

Одна из рабочих формул для расчета коэффициента корреля­ции имеет вид:

В качестве переменной мы рассмотрим ряд; в ка­честве переменной у - ряд. Тогда приведенная выше формула примет вид:

(5.1)

Где

(5.2)

Эту величину называют коэффициентом автокорреляции уровней ряда первого порядка, так как он измеряет зависимость между соседними уровнями ряда t и t - 1, т. е. при лаге 1. Для данных примера 5.1 соотношения (5.2) составят:

Используя формулу (5.1), получаем коэффициент автокорреляции первого порядка:

Полученное значение свидетельствует об очень тесной зави­симости между расходами на конечное потребление текущего и непосредственного потребления текущего и непосредственно предшествующего годов и, следовательно, о наличии во временном ряде расходов на конечное потребление сильной линейной тенденции.

Аналогично можно определить коэффициенты автокорреляции второго и более высоких порядков. Так, коэффициент автокорреляции второго порядка характеризует тесноту связи между уровнями и определяется по формуле:

(5.3)

Где

(5.4)

Для данных из примера 5.1 получим:

Подставим из таблицы 5.2.

Подставив полученные значения в формулу (5.3)

Полученные результаты еще раз подтверждают вывод о том, что ряд расходов на конечное потребление содержит линейную тенденцию.

Число периодов, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, называют лагом. С увеличением лага число пар значений, по которым рассчитывается коэффициент автокорре­ляции, уменьшается. Некоторые авторы считают целесообраз­ным для обеспечения статистической достоверности коэффици­ентов автокорреляции использовать правило — максимальный лаг должен быть не больше (n/4).

Отметим два важных свойства коэффициента автокорреляции. Во-первых, он строится по аналогии с линейным коэффициентом корреляции и таким образом характеризует тесноту только линей­ной связи текущего и предыдущего уровней ряда. Поэтому по ко­эффициенту автокорреляции можно судить о наличии линейной (или близкой к линейной) тенденции. Для некоторых временных рядов, имеющих сильную нелинейную тенденцию (например, па­раболу второго порядка или экспоненту), коэффициент автокор­реляции уровней исходного ряда может приближаться к нулю.

Во-вторых, по знаку коэффициента автокорреляции нельзя делать вывод о возрастающей или убывающей тенденции в уров­нях ряда. Большинство временных рядов экономических данных содержит положительную автокорреляцию уровней, однако при этом могут иметь убывающую тенденцию.

Последовательность коэффициентов автокорреляции уров­ней первого, второго и т.д. порядков называют автокорреляцион­ной функцией временного ряда. График зависимости ее значений от величины лага (порядка коэффициента автокорреляции) на­зывается коррелограммой.

Анализ автокорреляционной функции и коррелограммы поз­воляет определить лаг, при котором автокорреляция наиболее высокая, а следовательно, и лаг, при котором связь между теку­щим и предыдущими уровнями ряда наиболее тесная, т. е. при помощи анализа автокорреляционной функции и коррелограм­мы можно выявить структуру ряда.

Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреля­ции первого порядка, исследуемый ряд содержит только тенден­цию. Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорре­ляции порядка Ʈ, ряд содержит циклические колебания с перио­дичностью в Ʈ моментов времени. Если ни один из коэффициен­тов автокорреляции не является значимым, можно сделать одно из двух предположений относительно структуры этого ряда: либо ряд не содержит тенденции и циклических колебаний и имеет структуру, сходную со структурой ряда, изображенного на рис. 5.1 в), либо ряд содержит сильную нелинейную тенденцию, для выявления которой нужно провести дополнительный анализ. Поэтому коэффициент автокорреляции уровней и автокорреля­ционную функцию целесообразно использовать для выявления во временном ряде наличия или отсутствия трендовой компонен­ты (7) и циклической (сезонной) компоненты (5).

Временной ряд расходов на конечное потребление, рассмот­ренный нами в примере 5.1, содержит только тенденцию, так как коэффициенты автокорреляции его уровней высокие.