Моделирование сезонных и циклических колебаний

Существует несколько подходов к анализу структуры времен­ных рядов, содержащих сезонные или циклические колебания. Моделирование циклических колебаний в целом осуществляется ана­логично моделированию сезонных колебаний, поэтому мы рассмотрим только методы моделирования последних Простейший подход - расчет значений сезонной компонен­ты методом скользящей средней и построение аддитивной или мультипликативной модели временного ряда. Общий вид аддитивной модели следующий:

Y= T+S+E (5.5)

Эта модель предполагает, что каждый уровень временного ря­да может быть представлен как сумма трендовой (7), сезонной (S) и случайной (£) компонент. Общий вид мультипликативной мо­дели выглядит так:

Y=T*S*E (5.6)

Эта модель предполагает, что каждый уровень временного ряда может быть представлен как произведение трендовой (7), сезонной (S) и случайной (Е) компонент. Выбор одной из двух моделей осуществляется на основе анализа структуры сезонных колебаний. Если амплитуда колебаний приблизительно постоян­на, строят аддитивную модель временного ряда, в которой значе­ния сезонной компоненты предполагаются постоянными для различных циклов. Если амплитуда сезонных колебаний возрас­тает или уменьшается, строят мультипликативную модель вре­менного ряда, которая ставит уровни ряда в зависимость от зна­чений сезонной компоненты.

Построение аддитивной и мультипликативной моделей сво­дится к расчету значений T, S и Е для каждого уровня ряда.

Процесс построения модели включает в себя следующие шаги.

1. Выравнивание исходного ряда методом скользящей средней.

2. Расчет значений сезонной компоненты S.

3. Устранение сезонной компоненты из исходных уровней ряда и получение выравненных данных (Т+Е) в аддитивной или (T*Е) вмультипликативной модели.

4. Аналитическое выравнивание уровней (T + Е) или (Т * Е) и расчет значений Т с использованием полученного уравнения тренда.

5. Расчет полученных по модели значений (T+ S) или (T*S).

6. Расчет абсолютных и/или относительных ошибок.

Если полученные значения ошибок не содержат автокорреля­ции, ими можно заменить исходные уровни ряда и в дальнейшем использовать временной ряд ошибок Е для анализа взаимосвязи исходного ряда и других временных рядов.

Подробнее методику построения каждой из моделей рассмо­трим на примерах.

Пример 5.4. Построение аддитивной модели временного ряда.

Обратимся к данным об объеме потребления электроэнер­гии жителями района за последние четыре года, представлен­ным в табл. 5.3.

В примере 5.2 было показано, что данный временной ряд со­держит сезонные колебания периодичностью 4. Объемы потреб­ления электроэнергии в осенне-зимний период времени (I и IV кварталы) выше, чем весной и летом (II и III кварталы). По гра­фику этого ряда (рис. 5.2) можно установить наличие приблизи­тельно равной амплитуды колебаний. Это свидетельствует о воз­можном существовании в ряде аддитивной модели. Рассчитаем ее компоненты.

Шаг 1. Проведем выравнивание исходных уровней ряда мето­дом скользящей средней. Для этого:

a) просуммируем уровни ряда последовательно за каждые четыре квартала со сдвигом на один момент времени и определим условные годовые объемы потребления электроэнергии (гр. 3 табл. 5.8);

b) разделив полученные суммы на 4, найдем скользящие средние (гр. 4 табл. 5.8). Отметим, что полученные таким образом вы­равненные значения уже не содержат сезонной компоненты;

c) приведем эти значения в соответствие с фактическими момен­тами времени, для чего найдем средние значения из двух последовательных скользящих средних — центрированные скользящие средние (гр. 5 табл. 5.8).

Шаг 2. Найдем оценки сезонной компоненты как разность между фактическими уровнями ряда и центрированными скользящими средними (гр. 6 табл. 5.8). Используем эти оценки для расчета значений сезонной компоненты S (табл. 5.9). Для этого найдем средние за каждый квартал (по всем годам) оценки сезонной компоненты S_i. В моделях с сезонной компонентой обычно предполагается, что сезонные воздействия за период взаимопога­шаются. В аддитивной модели это выражается в том, что сумма значений сезонной компоненты по всем кварталам должна быть равна нулю.

Для данной модели имеем:

Определим корректирующий коэффициент:

Рассчитаем скорректированные значения сезонной компо­ненты как разность между ее средней оценкой и корректирую­щим коэффициентом k:

(5.7)

Проверим условие равенства нулю суммы значений сезонной компоненты: 0,581 - 1,977 - 1,294 + 2,690 = 0.

Таким образом, получены следующие значения сезонной компоненты:

I квартал: S₁ = 0,581;

II квартал: S₂ = -1,979;

III квартал: S₃ = -1,294;

IV квартал: S₄ = 2,690.

Занесем полученные значения в табл. 5.9 для соответствую­щих кварталов каждого года (стр. 3).

Шаг 3. Элиминируем влияние сезонной компоненты, вычи­тая ее значение из каждого уровня исходного временного ряда. Получим величины Т+ Е = Y - S (гр. 4 табл. 5.10). Эти значения рассчитываются за каждый момент времени и содержат только тенденцию и случайную компоненту.

Шаг 4. Определим компоненту T данной модели. Для этого проведем аналитическое выравнивание ряда (T+ Е) с помощью линейного тренда. Результаты аналитического выравнивания следующие: 1

Константа Коэффициент регрессии Стандартная ошибка коэффициента регрессии R -квадрат Число наблюдений Число степеней свободы

5,715416 0,186421 0,015188 0,914971

Таким образом, имеем следующий линейный тренд:

Подставляя в это уравнение значения t = 1,..., 16, найдем уровни Т для каждого момента времени (гр. 5 табл. 5.10). График уравнения тренда приведен на рис. 5.5.

Шаг 5. Найдем значения уровней ряда, полученные по адди­тивной модели. Для этого прибавим к уровням T значения сезон­ной компоненты для соответствующих кварталов. Графически значения (T + S) представлены на рис. 5.5.

Шаг 6. В соответствии с методикой построения аддитивной модели расчет ошибки производится по формуле E = Y – (T+S) (5.8)

Это абсолютная ошибка. Численные значения абсолютных ошибок приведены в гр. 7 табл. 5.10.

По аналогии с моделью регрессии для оценки качества пост­роения модели или для выбора наилучшей модели можно приме­нять сумму квадратов полученных абсолютных ошибок. Для дан­ной аддитивной модели сумма квадратов абсолютных ошибок равна 1,10. По отношению к общей сумме квадратов отклонений уровней ряда от его среднего уровня, равной 71,59, эта величина составляет чуть более 1,5%: (1-1,10/71,59)100= 1,536.

Следовательно, можно сказать, что аддитивная модель объяс­няет 98,5% общей вариации уровней временного ряда потребле­ния электроэнергии за последние 16 кварталов.

Пример 5.5. Построение мультипликативной модели времен­ного ряда. Пусть имеются поквартальные данные о прибыли компании за последние четыре года (табл. 5.11).

График данного временного ряда (рис. 5.6) свидетельствует о наличии сезонных колебаний (период колебаний равен 4) и об­щей убывающей тенденции уровней ряда. Прибыль компании в весенне-летний период выше, чем в осенне-зимний период. По­скольку амплитуда сезонных колебаний уменьшается, можно предположить существование мультипликативной модели. Оп­ределим ее компоненты.

Шаг 1. Проведем выравнивание исходных уровней ряда мето­дом скользящей средней. Методика, применяемая на этом шаге, полностью совпадает с методикой аддитивной модели. Результаты расчетов оценок сезонной компоненты представлены в табл. 5.12.

Шаг 2. Найдем оценки сезонной компоненты как частное от деления фактических уровней ряда на центрированные скользя­щие средние (гр. 6 табл. 5.12). Используем эти оценки для расче­та значений сезонной компоненты S (табл. 5.13). Для этого най­дем средние за каждый квартал оценки сезонной компоненты S_i.

Взаимопогашаемость сезонных воздействий в мультипликативной модели выражается в том, что сумма значений сезонной компоненты по всем кварталам должна быть равна числу периодов в цикле. В нашем случае число периодов одного цикла (год) равно 4 (четыре квартала).

Имеем: 0,918 + 1,209 + 1,088 + 0,808 = 4,023.

Определим корректирующий коэффициент: k = 4/4,023 - 0,9943.

Определим скорректированные значения сезонной компо­ненты, умножив ее средние оценки на корректирующий коэффи­циент k.

(5.9) (5.9)

Проверим условие равенства 4 суммы значений сезонной компоненты:

0,913 + 1,202 + 1,082 + 0,803 = 4.

Получим следующие значения сезонной компоненты:

I квартал: II квартал: III квартал: IV квартал:

=0,913; = 1,202; = 1,082; = 0,803.

Занесем полученные значения в табл. 5.14 для соответствую­щих кварталов каждого года (стр. 3).

Шаг 3. Разделим каждый уровень исходного ряда на соответ­ствующие значения сезонной компоненты. Тем самым мы полу­чим величины Т *Е = Y: S (гр. 4 табл. 5.14), которые содержат только тенденцию и случайную компоненту.

Шаг 4. Определим компоненту Т в мультипликативной моде­ли. Для этого рассчитаем параметры линейного тренда, исполь­зуя уровни (T - E). Результаты аналитического выравнивания это­го ряда представлены ниже:

Константа Коэффициент регрессии Стандартная ошибка коэффициента регрессии R -квадрат Число наблюдений Число степеней свободы

90,585150 -2,773250 0,225556 0,915239

Уравнение тренда имеет следующий вид: Подставляя в это уравнение значения t = 1,..., 16, найдем уровни T для каждого момента времени (гр. 5 табл. 5.14). График уравнения тренда приведен на рис. 5.7.

Шаг 5. Найдем уровни ряда по мультипликативной модели, умножив уровни Т на значения сезонной компоненты для соот­ветствующих кварталов. Графически значения (Т-S) представле­ны на рис. 5.7.

Шаг 6. Расчет ошибки в мультипликативной модели произво­дится по формуле

Численные значения ошибки приведены в гр. 7 табл. 5.14. Если временной ряд ошибок не содержит автокорреляции, его можно использовать вместо исходного ряда для изучения его вза­имосвязи с другими временными рядами. Для того чтобы срав­нить мультипликативную модель и другие модели временного ряда, можно по аналогии с аддитивной моделью использовать сумму квадратов абсолютных ошибок. Абсолютные ошибки в мультипликативной модели определяются как

(5.11)

В данной модели сумма квадратов абсолютных ошибок со­ставляет 207,40. Общая сумма квадратов отклонений фактичес­ких уровней этого ряда от среднего значения равна 5023. Таким образом, доля объясненной дисперсии уровней ряда равна: (1 - 207,40/5023) = 0,959, или 95,9%.

Выявление и устранение сезонного эффекта (в некоторых ис­точниках применяется термин «десезонализация уровней ряда») используются в двух направлениях. Во-первых, воздействие сезонных колебаний следует устранять на этапе предварительной обработки исходных данных при изучении взаимосвязи нескольких временных рядов. Поэтому в российских и международных статистических сборниках часто публикуются данные, в которых устранено влияние сезонной компоненты (если это помесячная или поквартальная статистика), например показатели объемов, производства в отдельных отраслях промышленности, уровня безработицы и т.д. Во-вторых, это анализ структуры одномерных временных рядов с целью прогнозирования уровней ряда в будущие моменты времени.