Метод Исчерпывания

Метод исчерпывания, приписываемый Евдоксу, – то обобщение его теории пропорций. Также как иррациональная длина определяется рациональными длинами с той и другой ее стороны, более общие неизвестные величины становятся определяемыми сколь угодно близкими аппроксимациями, используя известные фигуры. Примеры, данные Евдоксом (и изложенные в Книге XII Начал Евклида), – аппроксимация круга внутренними и внешними многоугольниками и аппроксимация пирамиды пучками призм который показывает самую очевидную аппроксимацию, нехитрую, которую фактически использовал Евклид). Заметим, что «исчерпание» не означает использование бесконечной последовательности шагов, чтобы показать, что площадь пропорциональна квадрату радиуса. Скорее, показываешь, что любую непропорциональность можно опровергнуть за конечное число шагов. Это типично для способа, в котором аргументы исчерпания избегают упоминания пределов и бесконечности.

Метод исчерпывания довел до полной зрелости Архимед (287- 212 гг. до н.э.). Среди его самых известных результатов были объем и площадь поверхности шара и площадь параболического сегмента. Архимед первым открыл эти результаты нестрогими методами, позлее подтвердив их методом исчерпывания. Возможно, самое интересное и естественное из его доказательств исчерпания – доказательство площади параболического сегмента.

Сегмент исчерпывается многоугольниками аналогично исчерпанию круга Евдокса, но площадь получается сразу и не только в пропорции к другой фигуре. Чтобы слегка упростить построение, мы допускаем, что сегмент разрезается хордой перпендикулярно оси симметрии параболы. Архимед делит параболический сегмент на треугольники, как показано на рисунке.

Средняя вершина каждого треугольника лежит на параболе на полпути между двумя другими (измеренными вертикально). Эти треугольники ясно исчерпывают параболический сегмент, и поэтому остается вычислить их площадь. Совершенно удивительно, это превращается в геометрический ряд.

Мы кратко укажем, как это случается. Поскольку ОР = ОХ, PQ = ½ PS по определению параболы. С другой стороны, SR = ½PS, следовательно, QR=½PS. Теперь — это сумма треугольников RQZ и OQR, которые имеют одно и то же основание RQ и «высоты» ОР = РХ следовательно, равную площадь. Мы только что видели, что RQZ имеет половину основания SRZ и имеет ту же самую высоту, следовательно, (называя фигуры равными, когда они имеют ту лее самую площадь)

= SRZ = ¼ OYZ =¼

Аналогично

и т. д., каждая новая цепочка треугольников имеет одну четвертую площади предыдущей цепочки. В результате,

Конечно, Архимед не пользуется бесконечным рядом, а использует исчерпание, показывая, что любую площадь можно превысить, взяв достаточно много треугольников. Сумма конечного геометрического ряда, необходимая для этого, была известна из Начал Евклида, Книга IX, где Евклид использовал ее для теоремы о совершенных числах.