Апории Зенона

Бесконечность в греческой математике

Рассуждение о бесконечности – одна из характерных черт математики, а также ее главный источник конфликта. Мы видели, конфликт, который возник из открытия иррациональных чисел, и неприятие греками иррациональных чисел было просто частью общего неприятия бесконечных процессов. Действительно, до конца девятнадцатого века большинство математиков неохотно признавали бесконечность более чем «потенциальной». Безграничность процесса, множества или величины понималась как возможность ее неопределенного продолжения, и не более, – конечно, не как вероятность возможного завершения. Например, натуральные числа 1, 2, 3,... можно принять как потенциальную бесконечность, – порожденную из 1 процессом добавления 1, – без признания того, что имеется завершенная совокупность {1, 2,3,...}. То же самое прилагается к любой последовательности (скажем, рациональных чисел). И все же возникает обманчивая возможность, когда последовательность стремится к х. Если х есть нечто, что мы уже признаем, скажем, по геометрическим соображениям, тогда очень соблазнительно рассмотреть х как то или иное «завершение» последовательности. Представляется, что греки боялись делать подобные выводы. Они были напуганы парадоксами Зенона, около 450 г. до н. э.

Об аргументах Зенона мы знаем только от Аристотеля, который цитирует их в своей Физике для того, чтобы доказать их несостоятельность, и не ясно, чего хотел добиться сам Зенон. Было ли здесь, например, стремление к размышлению о бесконечности, которое он не одобрял? Его аргументы настолько крайние, что они едва ли могли быть пародиями свободных дискуссий о бесконечности, которые он слышал среди своих современников. Рассмотрим первый его парадокс, дихотомию: Движения нет, потому что то, что движется, должно достигнуть середины (своего пути), прежде, чем оно достигнет конца.(Аристотель, Физика, Книга VI, гл.9) Первый аргумент, предположительно, заключается в том, что прежде, чем попасть куда-нибудь, необходимо сначала преодолеть половину пути, а до этого – четверть пути, а до этого – одну восьмую часть пути, и так до бесконечности. Завершение этой

бесконечной последовательности шагов больше не представляется невозможной большинству математиков, поскольку она представляет ничто иное как бесконечное множество точек в пределах конечного интервала. Тем не

менее, она, должно быть, напугала греков, потому что во всех своих доказательствах они очень тщательно избегали завершенных бесконечностей и пределов.

Вторая апория Зенона – Ахиллес и черепаха: допустим, Ахиллес бежит в десять раз быстрее, чем черепаха, и находится позади неё на расстоянии в тысячу шагов. За то время, за которое Ахиллес пробежит это расстояние, черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов. Когда Ахиллес пробежит сто шагов, черепаха проползёт ещё десять шагов, и так далее. Процесс будет продолжаться до бесконечности, Ахиллес так никогда и не догонит черепаху.

Третья апория Зенона – Стрела: летящая стрела неподвижна, так как в каждый момент времени она покоится, т.е. находится в равном [себе месте], а поскольку она покоится в каждый момент времени, то она покоится всегда.

Первые математические процессы, которые мы обычно признаем бесконечными, вероятно, были придуманы пифагорейцами, например, рекуррентные соотношения

для генерирования целочисленных решений уравнений

Однако, маловероятно, что пифагорейцы считали «пределом» последовательности или рассматривали последовательность как значимый объект вообще. Самое большее, что мы можем сказать, что, заявляя о рекурсии, пифагорейцы имели в виду последовательность с пределом, но лишь гораздо более старшее поколение математиков смогло принять бесконечную последовательность как таковую и оценить ее значение в определении предела.

В задаче, где, как правило, мы считаем естественным получить решение x методом перехода к пределу, греки обычно взамен исключали всякое решение, кроме x. Они показывали, что любое число < x слишком мало и любое число > x слишком велико, чтобы быть решением. В качестве метода отыскания решений задач, однако, оно было бесплодным: как, прежде всего, угадать число x? Когда математики вернулись к задачам отыскания пределов в семнадцатом веке, они не нашли пользы в строгих методах греков. Двойственные методы бесконечно малых величин семнадцатого века, критиковались Зеноном того времени, епископом Беркли, но, до недавнего времени немногое было сделано, чтобы опровергнуть его возражения, поскольку представлялось, что бесконечно малые величины не приводили к неверным результатам. Именно Дидекинд, Вейерштрасс и другие, в конечном счете, возродили стандарты строгости греков в девятнадцатом веке.

История о строгости потерянной и строгости вновь приобретенной получила удивительный поворот, когда в 1906 году была обнаружена ранее неизвестная рукопись Архимеда «Метод». В ней он признается, что его самые глубокие результаты получены с использованием двойственно бесконечных аргументов, и только позже строго доказаны. Потому что, как он говорит: «Конечно, легче предоставить доказательство, когда мы имеем ранее приобретенное некоторое знание вопросов с помощью метода, чем найти его без какого-либо предыдущего знания».

Значение этого утверждения выходит за рамки его откровения, что бесконечность можно использовать, чтобы открыть результаты, которые первоначально не поддаются логике. Архимед, вероятно, был первым математиком, достаточно искренним, чтобы объяснить, что есть разница между способом, которым теоремы открываются, и способом, которым они доказываются.