ЛЕКЦИЯ №2
« ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА »
Формулы Тейлора и Маклорена.
Пусть функция n раз дифференцируема в окрестности точки x0.Найдем многочлен степени не выше n-1, такой что
, ,,…, .
Такой многочлен в некотором смысле «близок» к функции .
Будем искать этот многочлен в форме многочлена, разложенного по степеням , с неопределенными коэффициентами:
.
Неопределенные коэффициенты определим так, чтобы выполнялись перечисленные выше условия.
Найдем производные от :
;
;…
.
Подставляя вместо , находим:
, , , , …, . Отсюда
Þ , , , ,…, .
Искомый многочлен будет иметь вид:
, или
.
Этот многочлен мы будем называть многочленом Тейлора.
Оказывается, что справедлива следующая теорема:
Теорема. Пусть функция n раз дифференцируема в окрестности точки x0. Тогда в этой окрестности для функции справедлива следующая формула Тейлора:
+
+.
Здесь некоторая точка, заключенная между и (), зависящая от , а = - остаточный член в форме Лагранжа.
Доказательство: Обозначим через многочлен
|
|
.
Ясно, что для каждого выбранного существует такое число , для которого будет выполняться равенство:
. (1)
Покажем, что это число при уже выбранном будет равно при некотором из промежутка .
Определим функцию
.
Ясно, что
Следовательно, доказательство мы закончим, если покажем, что в некоторой точке () будет выполняться равенство: .
Непосредственными вычислениями проверяется (см. многочлен Тейлора!), что для всех выполняются равенства:
(2)
Число выбрано таким образом, чтобы выполнялось равенство (1) и, следовательно, . Таким образом, для функции на промежутке
[] выполняются все условия теоремы Ролля. Следовательно, на интервале () существует такая точка , производная функции , в которой равна нулю, то есть . Но тогда с учетом (2) теорему Ролля можно применить к функции на промежутке [] и так далее. Применяя, в конце концов, теорему Ролля к функции на соответствующем промежутке, получим точку, для которой будет справедливо равенство .
Утверждение доказано.
Если x0=0, то формула Тейлора превращается в формулу Маклорена:
+
Заметим, что числа n могут выбираться различными, в зависимости и от наличия у функции производных соответствующего порядка, и от необходимой точности расчетов. Например, формула Тейлора для n=4 будет иметь вид:
Разложение некоторых элементарных функций по формуле Маклорена.
1. .
Þ ,
где .
2. .
Þ ,
где .
3. .
,…
Þ ,
где .
Пример:
Разложить функцию по формуле Маклорена, взяв 4 слагаемых.
Воспользуемся формулой Маклорена для функции , заменив x на
(-x):
.
.